Um bloco de massa m=2 kg, oscila em linha reta em uma superfície horizontal sem atrito. A mola apresenta uma constante k=800 N / m, e o bloco é solto (partindo do repouso) da posição máxima x=+30 cm. Inicialmente ( t=0 ) o objeto encontra-se na posição x(0)=+15 cm em relação ao ponto de equilíbrio do sistema. Substitua os valores nas equações.
Escreva a equação da aceleração em função do tempo v(t).

Passo 1

Beleza, então o que a gente tem aqui é um bloco de preso a uma mola de constante . Não há atrito e ele oscila em MHS (Movimento Harmônico Simples). A amplitude máxima é . O “t=0” não é o instante de liberação em , mas sim o instante em que o bloco está em (relativo ao ponto de equilíbrio) e passando por ali com certa velocidade.
Conteúdo: equação geral de MHS, determinação da frequência angular , aplicação de condições iniciais para achar a fase e, enfim, obter .

Passo 2

Primeiro, lembrando da teoria: o MHS satisfaz
m,ddot x + k,x = 0
A solução geral é
x(t)=Acos(omega t+varphi),
onde
omega=raiz8002=raiz400=20 rm rad/s .
Substituindo e :

Passo 3

Sabemos que x(0)=0,15rm,m = Acosvarphi ;Longrightarrow; 0,15 = 0,30cosvarphi ;Longrightarrow; cosvarphi = 0,5 ;Longrightarrow; varphi = pmpi3 e que, em v(t) = dot x(t) = -A,omega;sin(omega t+varphi) ,
v(0)^2 = omega^2l(A^2 - x(0)^2r) =20^2l(0,30^2 - 0,15^2r) =400(0,09 - 0,0225) =400cdot0,0675 =27
Para escolher o sinal, usamos também a velocidade em v(0) = -A,omegasinvarphi = -5,196 ;Longrightarrow; -0,30cdot20sinvarphi = -5,196 ;Longrightarrow; sinvarphi = 0,866 ;Longrightarrow; varphi = +pi3 . Num MHS vale
Em , a energia potencial é e a cinética , mas fica mais fácil notar que, ao passar por indo para o ponto de equilíbrio, é negativo. De todo modo, você pode calcular o módulo:
Logo , e como vai em direção ao centro, .
Então

Passo 4

Agora temos tudo:
x(t)=0,30cosl(20,t + tfracpi3r)
Basta derivar para achar v(t)=dot x(t) =-0,30cdot20;sinl(20t+tfracpi3r) =-6;sinl(20t+tfracpi3r)l[rm m/sr] :

Resposta

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