Lista 9 - Projeto de sistemas de controle em tempo discreto.
Um sistema é representado pelas equações de estados dado abaixo:
x(k+1)=[ll0,9142 & 0,1910 0,0955 & 1,0097] x(k)+[c0,0955 0,0048] u(k)
y(k)=[ll0 & 1] x(k)
Supondo que os estados estão disponíveis para realimentação, projete um controlador K=[llk1 & k2] por alocação de polos de malha fechada no plano z, de modo que a resposta transitória da saída, quando é aplicado um degrau na referência, apresente:
i) sobressinal máximo Mp cong 16,3 % isto é, com coeficiente de amortecimento xi=0,5;
ii) tempo de pico tp cong 0,9 s, ou seja, com frequência natural omegan cong 4 rad / s.
iii) Considerar T=0,1 s.
Projete uma matriz L de observação de estados. Os polos de observação de estados ficarão a critério do aluno.
Obs.: Tem que calcular a controlabilidade e a observabilidade em todos os exercícios.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para projetarmos um controlador de realimentação de estados para um sistema em tempo discreto, de modo que a resposta da saída atenda a certos requisitos de tempo de resposta, como sobressinal máximo e tempo de pico. Além disso, precisamos projetar uma matriz de observação de estados. Para isso, vamos precisar entender conceitos de controlabilidade, observabilidade e alocação de polos. Vamos seguir os passos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o sistema é controlável. Um sistema é controlável se for possível levar o estado do sistema de qualquer ponto a qualquer outro ponto no espaço de estados usando a entrada de controle. Para verificar a controlabilidade, construímos a matriz de controlabilidade:
C = [B AB]
Onde:
A = 0,9142 & 0,1910 0,0955 & 1,0097 , B = 0,0955 0,0048
Vamos calcular AB:
AB = 0,9142 & 0,1910 0,0955 & 1,0097 0,0955 0,0048 = (0,9142 times 0,0955) + (0,1910 times 0,0048) (0,0955 times 0,0955) + (1,0097 times 0,0048) approx 0,0873 0,0102
Então, a matriz de controlabilidade é:
C = 0,0955 & 0,0873 0,0048 & 0,0102
Para verificar a controlabilidade, calculamos o posto dessa matriz. Se o posto for igual ao número de estados (n=2), o sistema é controlável.
Calculando o determinante:
det(C) = (0,0955 times 0,0102) - (0,0873 times 0,0048) approx 0,000975 - 0,000420 approx 0,000555 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, a matriz de controlabilidade tem posto 2, então o sistema é controlável.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o sistema é observável. Um sistema é observável se for possível determinar o estado do sistema a partir das saídas medidas ao longo do tempo. Para verificar a observabilidade, construímos a matriz de observabilidade:
O = C CA
Onde:
C = 0 & 1
Calculando CA:
CA = 0 & 1 0,9142 & 0,1910 0,0955 & 1,0097 = 0,0955 & 1,0097
Então, a matriz de observabilidade é:
O = 0 & 1 0,0955 & 1,0097
Calculando o determinante:
det(O) = (0 times 1,0097) - (1 times 0,0955) = -0,0955 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, a matriz de observabilidade tem posto 2, então o sistema é observável.

Passo 4

Vamos projetar o controlador de realimentação de estados K = k1 & k2 de forma que os polos em malha fechada atendam aos requisitos de tempo de resposta fornecidos. Para isso, precisamos determinar os polos desejados do sistema em malha fechada.
Os requisitos são:
i) Sobressinal máximo Mp cong 16,3%, o que corresponde a um coeficiente de amortecimento xi = 0,5.
ii) Tempo de pico tp cong 0,9 s, correspondendo a uma frequência natural omegan cong 4 rad/s.
Além disso, o sistema é discreto com período de amostragem T = 0,1 s.
Primeiro, vamos determinar a frequência natural e a frequência amortecida do sistema.
Sabemos que o tempo de pico tp está relacionado à frequência amortecida omegad por:
tp = piomegad
Então:
omegad = pitp = pi0,9 approx 3,49 rad/s
Com o coeficiente de amortecimento xi = 0,5 e a relação omegad = omegan raiz1 - xi^2, podemos encontrar omegan:
omegan = omegadraiz1 - xi^2 = 3,49raiz1 - 0,25 = 3,49raiz0,75 approx 4,03 rad/s
Agora, queremos converter essas especificações para o domínio discreto. Os polos contínuos s podem ser mapeados para o domínio discreto z usando a transformação:
z = e^sT
Então, para cada polo contínuo lambda = sigma pm jomegan raiz1 - xi^2, temos:
z = e^(sigma pm jomegad)T
Primeiro, calculamos sigma = -xi omegan = -0,5 times 4 = -2 rad/s.
Então, os polos contínuos são:
lambda = -2 pm j3,49
Convertendo para o domínio discreto:
z = e^(-2 pm j3,49) times 0,1 = e^-0,2 pm j0,349
Calculando a magnitude e o ângulo:
|z| = e^-0,2 approx 0,8187
ang<= z = pm 0,349 rad
Então, os polos desejados no domínio discreto são:
z1,2 = 0,8187 ang<= pm 0,349 rad
Convertendo para forma algébrica:
z1 = 0,8187 cos(0,349) + j0,8187 sin(0,349) approx 0,8187 (0,94 + j0,342) approx 0,77 + j0,28
z2 = 0,8187 cos(-0,349) + j0,8187 sin(-0,349) approx 0,77 - j0,28

Passo 5

Agora que temos os polos desejados no domínio discreto, vamos usar o método de alocação de polos para determinar a matriz de realimentação K.
A dinâmica em malha fechada é dada por:
x(k+1) = (A - BK)x(k)
Queremos que os autovalores de (A - BK) sejam iguais aos polos desejados z1 e z2:
eig(A - BK) = 0,77 pm j0,28
Para encontrar K, usamos a fórmula do lugar dos polos:
K = [k1 k2]
Podemos calcular K usando métodos numéricos ou funções específicas em software de controle, mas aqui vamos fazer de forma simplificada assumindo que já temos a matriz de controlabilidade.
A equação característica desejada para o polinômio é:
(z - z1)(z - z2) = z^2 - (z1 + z2)z + z1 z2
Calculando z1 + z2 e z1 z2:
z1 + z2 = 2 times 0,77 = 1,54
z1 z2 = (0,77)^2 + (0,28)^2 = 0,5929 + 0,0784 = 0,6713
Então, o polinômio característico desejado é:
z^2 - 1,54z + 0,6713 = 0
A equação característica do sistema em malha fechada é:
det(zI - (A - BK)) = 0
Expandindo:
det( z - (a11 - b1 k1) & -(a12 - b1 k2) -(a21) & z - (a22 - b2 k2) ) = 0
Calculando o determinante e igualando aos coeficientes do polinômio desejado, podemos resolver para k1 e k2. Para simplificar, vamos usar o método da matriz de controlabilidade.
A matriz de controlabilidade C é:
C = 0,0955 & 0,0873 0,0048 & 0,0102
A fórmula para K via alocação de polos é:
K = [k1 k2] = [a b] C^-1
Onde a e b são os coeficientes do polinômio característico desejado.
Neste caso:
a = 1,54, b = 0,6713
Calculando C^-1:
C^-1 = 1det(C) 0,0102 & -0,0873 -0,0048 & 0,0955 approx 10,000555 0,0102 & -0,0873 -0,0048 & 0,0955 approx 18,38 & -157,3 -8,65 & 172,7
Então:
K = [1,54 0,6713] 18,38 & -157,3 -8,65 & 172,7 approx [1,54 times 18,38 + 0,6713 times (-8,65), 1,54 times (-157,3) + 0,6713 times 172,7]
Calculando:
k1 = 1,54 times 18,38 + 0,6713 times (-8,65) approx 28,3 - 5,81 approx 22,49
k2 = 1,54 times (-157,3) + 0,6713 times 172,7 approx -242,0 + 115,9 approx -126,1
Portanto, a matriz de realimentação de estados é aproximadamente:
K = 22,49 & -126,1

Passo 6

Agora, vamos projetar a matriz de observação de estados L. Para isso, escolhemos os polos do observador. Normalmente, escolhemos os polos do observador mais rápidos que os polos do controlador para garantir que a estimativa do estado acompanhe rapidamente o verdadeiro estado do sistema.
Vamos escolher os polos do observador em torno de 5 vezes mais rápidos que os polos do controlador. Isso significa que, no domínio discreto, vamos posicionar os polos do observador mais próximos da origem.
Por exemplo, se os polos do controlador estão em 0,77 pm j0,28, podemos escolher os polos do observador em 0,6 pm j0,2.
Para alocar a matriz L, usamos um procedimento semelhante ao da realimentação de estados, mas aplicando ao sistema transposto.
A equação característica para o observador é:
det(zI - (A - LC)) = 0
Supondo que escolhemos os polos do observador em 0,6 pm j0,2, o polinômio característico desejado é:
(z - 0,6 - j0,2)(z - 0,6 + j0,2) = z^2 - 1,2z + (0,6^2 + 0,2^2) = z^2 - 1,2z + 0,4
Usando a matriz de observabilidade O:
O = 0 & 1 0,0955 & 1,0097
A fórmula para L via alocação de polos é:
L = O^-1 [ell1 ell2]
Onde ell1 e ell2 são os coeficientes do polinômio característico desejado:
ell1 = 1,2, ell2 = 0,4
Calculando O^-1:
O^-1 = 1det(O) 1,0097 & -1 -0,0955 & 0 approx 1-0,0955 1,0097 & -1 -0,0955 & 0 approx -10,58 & 10,48 1 & 0
Então:
L = -10,58 & 10,48 1 & 0 1,2 0,4 = (-10,58 times 1,2) + (10,48 times 0,4) (1 times 1,2) + (0 times 0,4) approx -12,7 + 4,19 1,2 approx -8,51 1,2
Portanto, a matriz de observação de estados é aproximadamente:
L = -8,51 1,2

Resposta

O controlador de realimentação de estados projetado é:
K = 22,49 & -126,1
E a matriz de observação de estados projetada é:
L = -8,51 1,2

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