Lista 9 - Projeto de sistemas de controle em tempo discreto.
Um sistema é representado pelas equações de estados dado abaixo:
Supondo que os estados estão disponíveis para realimentação, projete um controlador
por alocação de polos de malha fechada no plano
, de modo que a resposta transitória da saída, quando é aplicado um degrau na referência, apresente:
i) sobressinal máximo
isto é, com coeficiente de amortecimento
;
ii) tempo de pico
, ou seja, com frequência natural
.
iii) Considerar
.
Projete uma matriz L de observação de estados. Os polos de observação de estados ficarão a critério do aluno.
Obs.: Tem que calcular a controlabilidade e a observabilidade em todos os exercícios.
Um sistema é representado pelas equações de estados dado abaixo:
Supondo que os estados estão disponíveis para realimentação, projete um controlador
i) sobressinal máximo
ii) tempo de pico
iii) Considerar
Projete uma matriz L de observação de estados. Os polos de observação de estados ficarão a critério do aluno.
Obs.: Tem que calcular a controlabilidade e a observabilidade em todos os exercícios.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para projetarmos um controlador de realimentação de estados para um sistema em tempo discreto, de modo que a resposta da saída atenda a certos requisitos de tempo de resposta, como sobressinal máximo e tempo de pico. Além disso, precisamos projetar uma matriz de observação de estados. Para isso, vamos precisar entender conceitos de controlabilidade, observabilidade e alocação de polos. Vamos seguir os passos para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o sistema é controlável. Um sistema é controlável se for possível levar o estado do sistema de qualquer ponto a qualquer outro ponto no espaço de estados usando a entrada de controle. Para verificar a controlabilidade, construímos a matriz de controlabilidade:
Onde:
Vamos calcular
:
Então, a matriz de controlabilidade é:
Para verificar a controlabilidade, calculamos o posto dessa matriz. Se o posto for igual ao número de estados (n=2), o sistema é controlável.
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, a matriz de controlabilidade tem posto 2, então o sistema é controlável.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o sistema é observável. Um sistema é observável se for possível determinar o estado do sistema a partir das saídas medidas ao longo do tempo. Para verificar a observabilidade, construímos a matriz de observabilidade:
Onde:
Calculando
:
Então, a matriz de observabilidade é:
Calculando o determinante:
Como o determinante é diferente de zero, a matriz de observabilidade tem posto 2, então o sistema é observável.
Passo 4
Vamos projetar o controlador de realimentação de estados
de forma que os polos em malha fechada atendam aos requisitos de tempo de resposta fornecidos. Para isso, precisamos determinar os polos desejados do sistema em malha fechada.
Os requisitos são:
i) Sobressinal máximo
, o que corresponde a um coeficiente de amortecimento
.
ii) Tempo de pico
, correspondendo a uma frequência natural
.
Além disso, o sistema é discreto com período de amostragem
.
Primeiro, vamos determinar a frequência natural e a frequência amortecida do sistema.
Sabemos que o tempo de pico
está relacionado à frequência amortecida
por:
Então:
Com o coeficiente de amortecimento
e a relação
, podemos encontrar
:
Agora, queremos converter essas especificações para o domínio discreto. Os polos contínuos
podem ser mapeados para o domínio discreto
usando a transformação:
Então, para cada polo contínuo
, temos:
Primeiro, calculamos
.
Então, os polos contínuos são:
Convertendo para o domínio discreto:
Calculando a magnitude e o ângulo:
Então, os polos desejados no domínio discreto são:
Convertendo para forma algébrica:
Passo 5
Agora que temos os polos desejados no domínio discreto, vamos usar o método de alocação de polos para determinar a matriz de realimentação
.
A dinâmica em malha fechada é dada por:
Queremos que os autovalores de
sejam iguais aos polos desejados
e
:
Para encontrar
, usamos a fórmula do lugar dos polos:
Podemos calcular
usando métodos numéricos ou funções específicas em software de controle, mas aqui vamos fazer de forma simplificada assumindo que já temos a matriz de controlabilidade.
A equação característica desejada para o polinômio é:
Calculando
e
:
Então, o polinômio característico desejado é:
A equação característica do sistema em malha fechada é:
Expandindo:
Calculando o determinante e igualando aos coeficientes do polinômio desejado, podemos resolver para
e
. Para simplificar, vamos usar o método da matriz de controlabilidade.
A matriz de controlabilidade
é:
A fórmula para
via alocação de polos é:
Onde
e
são os coeficientes do polinômio característico desejado.
Neste caso:
Calculando
:
Então:
Calculando:
Portanto, a matriz de realimentação de estados é aproximadamente:
Passo 6
Agora, vamos projetar a matriz de observação de estados
. Para isso, escolhemos os polos do observador. Normalmente, escolhemos os polos do observador mais rápidos que os polos do controlador para garantir que a estimativa do estado acompanhe rapidamente o verdadeiro estado do sistema.
Vamos escolher os polos do observador em torno de 5 vezes mais rápidos que os polos do controlador. Isso significa que, no domínio discreto, vamos posicionar os polos do observador mais próximos da origem.
Por exemplo, se os polos do controlador estão em
, podemos escolher os polos do observador em
.
Para alocar a matriz
, usamos um procedimento semelhante ao da realimentação de estados, mas aplicando ao sistema transposto.
A equação característica para o observador é:
Supondo que escolhemos os polos do observador em
, o polinômio característico desejado é:
Usando a matriz de observabilidade
:
A fórmula para
via alocação de polos é:
Onde
e
são os coeficientes do polinômio característico desejado:
Calculando
:
Então:
Portanto, a matriz de observação de estados é aproximadamente:
Resposta
O controlador de realimentação de estados projetado é:
E a matriz de observação de estados projetada é: