Lista de questões (2,0 pontos na nota 2) Mostre as resoluções
Uma amostra de urânio natural hoje tem
do isótopo
e
do isótopo
, com meias-vidas, respectivamente, de
anos e
anos. Admitindo-se que a formação do urânio tenha ocorrido há cerca de 6 bilhões de anos após o Big Bang, com uma abundância relativa
, use a lei do decaimento radioativo para estimar a idade do universo. Mostre as contas.
Uma amostra de urânio natural hoje tem
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma amostra de urânio natural que contém duas quantidades diferentes de isótopos:
e
. A gente precisa usar a lei do decaimento radioativo para estimar a idade do universo. Para isso, vamos precisar entender como esses isótopos decaem ao longo do tempo e usar as meias-vidas fornecidas para calcular quanto tempo passou desde a formação do urânio.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a lei do decaimento radioativo, que é dada pela fórmula:
Onde:
- $ N(t) $ é a quantidade de isótopo que resta após o tempo $ t $.
- $ N_0 $ é a quantidade inicial do isótopo.
- $ \lambda $ é a constante de decaimento.
- $ t $ é o tempo decorrido.
A constante de decaimento $ \lambda $ está relacionada com a meia-vida ($ T_{1/2} $) pela fórmula:
Passo 3
Vamos calcular a constante de decaimento para cada isótopo.
Para o
:
Para o
:
Passo 4
Agora, sabemos que a abundância relativa inicial ($ \frac{N_{235}}{N_{238}} $) era aproximadamente 1,71. Após o tempo $ t $, as quantidades de cada isótopo serão:
Como a abundância atual é 0,72% de U-235 e 99,28% de U-238, podemos relacionar isso com as quantidades iniciais e o decaimento.
Passo 5
Vamos estabelecer a relação entre as abundâncias:
Sabemos que inicialmente $ \frac{N_{235}(0)}{N_{238}(0)} \approx 1,71 $ e atualmente $ \frac{N_{235}(t)}{N_{238}(t)} = \frac{0,72}{99,28} \approx 0,00726 $.
Então:
Passo 6
Vamos resolver para $ t $. Primeiro, dividimos os dois lados por 1,71:
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
Então:
Passo 7
Calculamos $ \lambda_{235} - \lambda_{238} $:
Agora, substituímos na equação de $ t $:
Resposta
A idade estimada do universo, com base na lei do decaimento radioativo dos isótopos de urânio, é de aproximadamente 6,58 bilhões de anos.