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Uma amostra de urânio natural hoje tem 99,28 % do isótopo 92^238 U e 0,72 % do isótopo 92^235 U, com meias-vidas, respectivamente, de 4,47 times 10^9 anos e 7,04 times 10^8 anos. Admitindo-se que a formação do urânio tenha ocorrido há cerca de 6 bilhões de anos após o Big Bang, com uma abundância relativa 92^235 U l92^238 U) approx 1,71, use a lei do decaimento radioativo para estimar a idade do universo. Mostre as contas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma amostra de urânio natural que contém duas quantidades diferentes de isótopos: 92^238 U e 92^235 U. A gente precisa usar a lei do decaimento radioativo para estimar a idade do universo. Para isso, vamos precisar entender como esses isótopos decaem ao longo do tempo e usar as meias-vidas fornecidas para calcular quanto tempo passou desde a formação do urânio.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a lei do decaimento radioativo, que é dada pela fórmula:
N(t) = N0 times e^-lambda t
Onde:
  • $ N(t) $ é a quantidade de isótopo que resta após o tempo $ t $.
  • $ N_0 $ é a quantidade inicial do isótopo.
  • $ \lambda $ é a constante de decaimento.
  • $ t $ é o tempo decorrido.
A constante de decaimento $ \lambda $ está relacionada com a meia-vida ($ T_{1/2} $) pela fórmula:
N(t)

Passo 3

Vamos calcular a constante de decaimento para cada isótopo.
Para o 92^238 U:
lambda238 = ln 24,47 times 10^9 anos approx 1,55 times 10^-10 ano^-1
Para o 92^235 U:
lambda235 = ln 27,04 times 10^8 anos approx 9,84 times 10^-10 ano^-1

Passo 4

Agora, sabemos que a abundância relativa inicial ($ \frac{N_{235}}{N_{238}} $) era aproximadamente 1,71. Após o tempo $ t $, as quantidades de cada isótopo serão:
N235N238
t
Como a abundância atual é 0,72% de U-235 e 99,28% de U-238, podemos relacionar isso com as quantidades iniciais e o decaimento.

Passo 5

Vamos estabelecer a relação entre as abundâncias:
Sabemos que inicialmente $ \frac{N_{235}(0)}{N_{238}(0)} \approx 1,71 $ e atualmente $ \frac{N_{235}(t)}{N_{238}(t)} = \frac{0,72}{99,28} \approx 0,00726 $.
Então:
N235(t)N238(t) = N235(0) times e^-lambda235 tN238(0) times e^-lambda238 t = N235(0)N238(0) times e^-(lambda235 - lambda238) t

Passo 6

Vamos resolver para $ t $. Primeiro, dividimos os dois lados por 1,71:
t
0,007261,71 = e^-(lambda235 - lambda238) t
Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
0,00424 = e^-(lambda235 - lambda238) t
ln(0,00424) = -(lambda235 - lambda238) t
Então:
-5,464 = -(lambda235 - lambda238) t

Passo 7

Calculamos $ \lambda_{235} - \lambda_{238} $:
lambda235 - lambda238
Agora, substituímos na equação de $ t $:
lambda235 - lambda238 = 9,84 times 10^-10 - 1,55 times 10^-10 = 8,29 times 10^-10 ano^-1

Resposta

A idade estimada do universo, com base na lei do decaimento radioativo dos isótopos de urânio, é de aproximadamente 6,58 bilhões de anos.

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