Lista de questões (2,0 pontos na nota 2) Mostre as resoluções
A lei do decaimento radioativo,
, foi deduzida na hipótese de o número de núcleons - dN que decaem durante o intervalo de tempo dt ser linearmente proporcional ao número N de núcleos que ainda não decaíram. Qual seria a nova lei do decaimento, se se admitir que - dN é quadraticamente proporcional a N ? Neste caso, dê o comportamento da lei nos dois casos limites, mostrando os cálculos:
.
A lei do decaimento radioativo,
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que na lei “normal” do decaimento radioativo a gente tem
porque se assume que a taxa de variação
Agora a ideia é mudar essa hipótese: vamos supor que
Passo 2
Escrevendo a hipótese em forma de equação diferencial:
onde
é a constante de proporcionalidade (igual ao que era antes, só que agora “quadrático”).
Passo 3
Separação de variáveis. A ideia é isolar
de um lado e
do outro:
Agora integramos ambos os lados:
Passo 4
Usando a condição inicial
, achamos a constante
:
Passo 5
Agora os comportamentos limites:
- Para
(tempo bem pequeno): (fazendo expansão de ). - Para
(tempo bem grande): ou seja, cai como , muito mais lento que o decaimento exponencial.
Resposta
A nova lei do decaimento é
Para
, ela se comporta como