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A lei do decaimento radioativo, N(t)=N0 e^-lambda t, foi deduzida na hipótese de o número de núcleons - dN que decaem durante o intervalo de tempo dt ser linearmente proporcional ao número N de núcleos que ainda não decaíram. Qual seria a nova lei do decaimento, se se admitir que - dN é quadraticamente proporcional a N ? Neste caso, dê o comportamento da lei nos dois casos limites, mostrando os cálculos:
para t gg 1.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que na lei “normal” do decaimento radioativo a gente tem
N(t)=N0e^-lambda t
porque se assume que a taxa de variação é proporcional a .
Agora a ideia é mudar essa hipótese: vamos supor que
é proporcional a . Ou seja, a nossa matéria aqui é EDO de 1ª ordem e separação de variáveis. A gente vai montar a equação, resolver, aplicar a condição inicial e depois ver como ela se comporta quando é bem grande.

Passo 2

Escrevendo a hipótese em forma de equação diferencial:
-dNdt = lambda,N^2,
onde é a constante de proporcionalidade (igual ao que era antes, só que agora “quadrático”).

Passo 3

Separação de variáveis. A ideia é isolar dNN^2 = -lambda,dt de um lado e integral dNN^2 = -lambdaintegral dt Longrightarrow -,1N = -lambda t + C do outro:
Agora integramos ambos os lados:

Passo 4

Usando a condição inicial -,1N0 = C Longrightarrow -,1N = -lambda t - 1N0 , achamos a constante Longrightarrow 1N = lambda t + 1N0 Longrightarrow N(t)=1lambda t + tfrac1N0 =N01+lambda N0,t :

Passo 5

Agora os comportamentos limites:
  1. Para N(t)approx N0l(1 - lambda N0,tr) (tempo bem pequeno): N(t)approx 1lambda,t, (fazendo expansão de ).
  2. Para (tempo bem grande): ou seja, cai como , muito mais lento que o decaimento exponencial.

Resposta

A nova lei do decaimento é
boxedN(t)=N01+lambda N0,t
Para N(t)sim1lambda,t , ela se comporta como

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