Mostre que a equação diferencial p / a componente radial (em coordenadas polares no plano) p/ o problema de Kepler é dada por:
d^2 rd t^2+Km r^2-L^2m^2 r^3=0 onde K=G m M

Passo 1

Beleza, o exercício pede para a gente mostrar que, num problema de Kepler no plano (força gravitacional central), a componente radial de Newton dá
d^2 rd t^2 ;+;Km,r^2;-;L^2m^2,r^3;=;0 com K=G,m,M
O conteúdo aqui é Mecânica Newtoniana em coordenadas polares:
  • Lei de Newton (método vetorial).
  • Expressão da aceleração em coordenadas polares (radial e tangencial).
  • Conservação do momento angular.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a 2ª lei de Newton em forma vetorial para a massa m,vec a ;=;vec FG com vec FG ;=;-,G,m,Mr^2;hat r Rightarrow vec FG = -,Kr^2,hat r sob a atração gravitacional de :

Passo 3

A aceleração em coordenadas polares é
vec a = l(ddot r - r,dottheta^2r),hat r ;+;l(r,ddottheta + 2,dot r,dotthetar),hattheta
Aqui é a aceleração radial e é a velocidade angular.

Passo 4

Como a força é puramente radial, a componente ml(ddot r - r,dottheta^2r) ;=; -;Kr^2 da 2ª lei dá , que leva à conservação do momento angular (vamos usar já no próximo passo).
A componente radial é

Passo 5

Da conservação de momento angular L = m,r^2,dottheta Longrightarrow dottheta = Lm,r^2 Longrightarrow dottheta^2 = L^2m^2,r^4 , temos

Passo 6

Substituindo m,ddot r ;-; m,r,dottheta^2 ;=;-,Kr^2 Longrightarrow m,ddot r ;-;L^2m,r^3 ;=; -;Kr^2 na equação radial:
ddot r ;+;Km,r^2 ;-;L^2m^2,r^3 ;=;0
Agora dividimos tudo por e passamos termos para um lado:

Resposta

boxed d^2 rd t^2 ;+;Km,r^2 ;-;L^2m^2,r^3 =0, K = G,m,M

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