Mostre que a equação diferencial p / a componente radial (em coordenadas polares no plano) p/ o problema de Kepler é dada por:
Passo 1
Beleza, o exercício pede para a gente mostrar que, num problema de Kepler no plano (força gravitacional central), a componente radial de Newton dá
O conteúdo aqui é Mecânica Newtoniana em coordenadas polares:
- Lei de Newton (método vetorial).
- Expressão da aceleração em coordenadas polares (radial e tangencial).
- Conservação do momento angular.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a 2ª lei de Newton em forma vetorial para a massa
sob a atração gravitacional de
:
Passo 3
A aceleração em coordenadas polares é
Aqui
é a aceleração radial e
é a velocidade angular.
Passo 4
Como a força é puramente radial, a componente
da 2ª lei dá
, que leva à conservação do momento angular (vamos usar já no próximo passo).
A componente radial é
A componente radial é
Passo 5
Da conservação de momento angular
, temos
Passo 6
Substituindo
na equação radial:
Agora dividimos tudo por
e passamos termos para um lado: