Mostre que uma EDO p/ a equação da órbita r(theta) (em coordenadas polares no plano) pode ser obtida da EDO do exercício anterior através da substituição da variável auxiliar u=1 / r obtendo:
d^2 ud theta^2+u=m KL^2

Passo 1

Beleza, resumo rapidinho o que a gente quer: a gente tem a equação de movimento radial de uma partícula sob força central (no enunciado anterior), e quer mostrar que, se a gente definir a variável auxiliar
u(theta)=1r(theta),
a EDO vira
d^2udtheta^2+u=mKL^2
O conteúdo aqui é: coordenadas polares, conservação do momento angular , e aplicação da regra da cadeia pra passar de derivadas em pra derivadas em . Vamos precisar também da força central .

Passo 2

Primeiro, lembra da equação radial (vinda do enunciado anterior):
ml(d^2rdt^2-rl(dthetadtr)^2r)=F(r)=-Kr^2
E, por conservação do momento angular, a gente tem
L = m,r^2dthetadt Longrightarrow dthetadt = Lm,r^2

Passo 3

Agora expressa r(theta)=1u(theta), em função de drdt =drdtheta,dthetadt =-1u^2,dudtheta;Lm,r^2 =-Lm,dudtheta . Como
pela regra da cadeia
porque cancela com o .

Passo 4

Vamos achar d^2rdt^2 =ddtl(-Lmu'r) =-Lm,ddt(u') =-Lm,du'dtheta,dthetadt =-Lm,u'';Lm,r^2 =-L^2m^2,u'',u^2, . Diferenciando de novo em rl(dthetadtr)^2 =1ul(Lm,r^2r)^2 =1u;L^2m^2;u^4 =L^2m^2,u^3 :
onde usei denotar e .
Também precisamos de

Passo 5

Substitui essas coisas na equação radial:
ml(d^2rdt^2-r,dottheta^2r) =ml(-L^2m^2u''u^2 - L^2m^2u^3r) =-L^2ml(u''u^2+u^3r)
isso tem que ser igual a -L^2m(u''u^2+u^3) = -K,u^2 Longrightarrow u''u^2+u^3 = mKL^2,u^2 . Logo
u'' + u = mKL^2
Dividindo por :

Resposta

boxedd^2udtheta^2 + u = mKL^2

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