Mostre que uma EDO p/ a equação da órbita
(em coordenadas polares no plano) pode ser obtida da EDO do exercício anterior através da substituição da variável auxiliar
obtendo:
Passo 1
Beleza, resumo rapidinho o que a gente quer: a gente tem a equação de movimento radial de uma partícula sob força central (no enunciado anterior), e quer mostrar que, se a gente definir a variável auxiliar
a EDO vira
O conteúdo aqui é: coordenadas polares, conservação do momento angular
, e aplicação da regra da cadeia pra passar de derivadas em
pra derivadas em
. Vamos precisar também da força central
.
Passo 2
Primeiro, lembra da equação radial (vinda do enunciado anterior):
E, por conservação do momento angular, a gente tem
Passo 3
Agora expressa
em função de
. Como
pela regra da cadeia
porque
cancela com o
.
Passo 4
Vamos achar
. Diferenciando de novo em
:
onde usei denotar
e
.
Também precisamos de
Passo 5
Substitui essas coisas na equação radial:
isso tem que ser igual a
. Logo
Dividindo por
: