Mostre que as equações dadas abaixo não são exatas, em seguida encontre um fator integrante e resolva a equação.
y^prime=e^2 x+y-1

Passo 1

Tranquilo, vamos lá. A equação que a gente tem é
y' = e^2x + y - 1
O que o exercício pede é: (1) mostrar que ela não é exata, (2) achar um fator integrante e (3) resolver de vez. Aqui o conteúdo é Equações Diferenciais de 1ª ordem — em especial a parte de equações exatas e fator integrante.

Passo 2

Primeiro, coloca tudo no formato
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
Como dydx - (e^2x+y-1)=0 ;longrightarrow; -(e^2x+y-1),dx + 1cdot dy = 0 , podemos escrever
M(x,y) = -(e^2x+y-1), N(x,y)=1
Logo

Passo 3

Pra ser exata, precisa dar
partial Mpartial y = partial Npartial x
Calculando:
partial Mpartial y = -1, partial Npartial x = 0
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Agora, vamos achar um fator integrante mu(x) = exp!(integral partial Mpartial y - partial Npartial xN,dx) = exp!(integral -1 - 01,dx) = exp(-! integral 1,dx) = e^-x que dependa só de . A fórmula diz

Passo 5

Multiplica tudo por -e^-x(e^2x+y-1),dx + e^-x,dy = 0 ;longrightarrow; M^*(x,y),dx + N^*(x,y),dy = 0, . A nova equação fica
M^*(x,y) = -e^x - y,e^-x + e^-x, N^*(x,y) = e^-x
com
Confirmação:
e .
Agora sim é exata.

Passo 6

Buscamos uma função potencial partial Psipartial x = M^*(x,y), partial Psipartial y = N^*(x,y) tal que
Psi(x,y) = integral(-e^x - y,e^-x + e^-x),dx = -e^x + y,e^-x - e^-x + h(y)
Integral de partial Psipartial y = e^-x + h'(y) stackrel!= e^-x ;Longrightarrow;h'(y)=0 ;Longrightarrow;h(y)=C em :
Agora impomos :

Passo 7

A solução implícita é
Psi(x,y) = -e^x + y,e^-x - e^-x = C
Podemos isolar y,e^-x = e^x + e^-x + C Longrightarrow y = e^2x + 1 + C,e^x :

Resposta

A solução geral da equação é
boxedy(x) = e^2x + 1 + C,e^x

Exercícios relacionados