Mostre que as equações dadas abaixo não são exatas, em seguida encontre um fator integrante e resolva a equação.
Passo 1
Tranquilo, vamos lá. A equação que a gente tem é
O que o exercício pede é: (1) mostrar que ela não é exata, (2) achar um fator integrante e (3) resolver de vez. Aqui o conteúdo é Equações Diferenciais de 1ª ordem — em especial a parte de equações exatas e fator integrante.
Passo 2
Primeiro, coloca tudo no formato
Como
, podemos escrever
Logo
Passo 3
Pra ser exata, precisa dar
Calculando:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Agora, vamos achar um fator integrante
que dependa só de
. A fórmula diz
Passo 5
Multiplica tudo por
. A nova equação fica
com
Confirmação:
e
.
Agora sim é exata.
Agora sim é exata.
Passo 6
Buscamos uma função potencial
tal que
Integral de
em
:
Agora impomos
:
Passo 7
A solução implícita é
Podemos isolar
:
Resposta
A solução geral da equação é