Considere uma equação diferencial do tipo
e
, dita de Bernoulli, com
e
funções contínuas nalgum intervalo
.
Em cada uma das seguintes alíneas, verifique que a equação é do tipo referido na alínea anterior. Determine a solução geral fazendo a mudança de variável indicada:
;
Em cada uma das seguintes alíneas, verifique que a equação é do tipo referido na alínea anterior. Determine a solução geral fazendo a mudança de variável indicada:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli
com x>0, identificando p(x)=1/x, q(x)=x^2 e n=2, e usando a mudança de variável habitual em equações de Bernoulli.
Passo 2
Uma equação de Bernoulli tem forma
com n≠0,1. Aqui p(x)=1/x e q(x)=x^2, logo n=2. Para torná-la linear, fazemos a troca
Passo 3
Precisamos expressar z’ em função de y e y’. Como z=y^{-1}, temos
Substituindo y’ da equação original,
obtemos
Passo 4
Reescrevendo, a equação em z vira
que é linear de 1º ordem. O fator integrante é
Passo 5
Multiplicando tudo por
, temos
que é
Integrando,
onde
é constante arbitrária. Logo
Passo 6
Voltando a y, como z=1/y, concluímos