Considere uma equação diferencial do tipo y^prime+p(x) y=q(x) y^n, n neq 1 e n neq 0, dita de Bernoulli, com p e q funções contínuas nalgum intervalo I subseteq R.
Em cada uma das seguintes alíneas, verifique que a equação é do tipo referido na alínea anterior. Determine a solução geral fazendo a mudança de variável indicada:
y^prime+1x y=x^2 y^2, x>0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Bernoulli
y'+1xy = x^2y^2,
com x>0, identificando p(x)=1/x, q(x)=x^2 e n=2, e usando a mudança de variável habitual em equações de Bernoulli.

Passo 2

Uma equação de Bernoulli tem forma
y'+p(x)y = q(x)y^n,
com n≠0,1. Aqui p(x)=1/x e q(x)=x^2, logo n=2. Para torná-la linear, fazemos a troca
z = y^1-n = y^-1

Passo 3

Precisamos expressar z’ em função de y e y’. Como z=y^{-1}, temos
z' = -y^-2y'
Substituindo y’ da equação original,
y' = x^2y^2 - 1xy,
obtemos
z' = -y^-2l(x^2y^2 - 1xyr) = -x^2 + 1xy^-1 = -x^2 + 1xz

Passo 4

Reescrevendo, a equação em z vira
z' - 1xz = -x^2,
que é linear de 1º ordem. O fator integrante é
mu(x) = e^integral -1x,dx = e^-ln x = 1x

Passo 5

Multiplicando tudo por 1/x, temos
1xz' - 1x^2z = -x
que é
ddxl(zxr) = -x
Integrando,
zx = -x^22 + C,
onde C é constante arbitrária. Logo
z = -x^32 + Cx

Passo 6

Voltando a y, como z=1/y, concluímos
y(x) = 1z = 1Cx - dfracx^32

Resposta

y(x)=dfrac1Cx - tfracx^32, com C constante arbitrária.

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