Liste os principais testes de convergência aplicados ao estudo de séries infinitas \sum a_{n}. Para cada teste, indique a qual tipo de série ele se aplica preferencialmente e qual o critério utilizado para definir a convergência ou divergência.

Passo 1

O enunciado pede que eu liste os principais testes de convergência para séries infinitas \sum a_{n}.
O que devo entregar para cada teste:
  • indicar a que tipo de séries o teste se aplica preferencialmente (por exemplo: termos positivos, alternada, sinais mistos, séries com termos dados por função contínua, etc.);
  • dar o critério usado para decidir convergência ou divergência (a condição que se verifica e o que ela implica).
Não há outros dados numéricos no enunciado.

Passo 2

Primeiro resultado básico (condição necessária) — antes de qualquer teste:
  • Se \sum a_{n} converge, então os termos vão a zero:
\lim_{n\to\infty} a_{n}=0.
  • Isto é necessário, não suficiente. Ou seja, se \lim_{n\to\infty} a_{n}\neq0 então a série diverge imediatamente.
  • Aplicação: sempre checar isto antes de tentar testes mais refinados.

Passo 3

Séries de referência (casos simples que usamos como comparação):
  • Séries geométricas: \sum r^{n}. Critério: converge se e só se |r|<1; soma \dfrac{1}{1-r} para a partir de n=0.
  • Séries p (p-series): \sum \dfrac{1}{n^{p}} com p>0. Critério: converge se e só se p>1; diverge se p\le1.
  • Essas duas famílias são usadas como comparação padrão.

Passo 4

Teste da comparação direta (preferido para séries com termos não-negativos):
  • Hipóteses: a_{n}\ge0 e existe b_{n}\ge0 conhecido.
  • Critérios:
    • Se 0\le a_{n}\le b_{n} para todo n a partir de certo ponto e \sum b_{n} converge, então \sum a_{n} converge.
    • Se 0\le b_{n}\le a_{n} para todo n a partir de certo ponto e \sum b_{n} diverge, então \sum a_{n} diverge.
  • Dica prática: escolha b_{n} simples (p.ex. uma p-series ou geométrica) que domine a_{n}.

Passo 5

Teste da comparação por limite (limit comparison test) — para termos positivos:
  • Hipótese: a_{n}>0, b_{n}>0.
  • Critério: se existe o limite finito e positivo
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=c\quad\text{com }0<c<\infty,
então \sum a_{n} e \sum b_{n} têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).
  • Uso prático: quando a_{n} e b_{n} têm a mesma ordem assintótica.

Passo 6

Teste da razão de d’Alembert (ratio test) — muito útil quando aparecem fatores exponenciais, fatorial ou potências:
  • Aplicável tipicamente a séries com termos não-negativos ou complexos.
  • Defina
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|.
  • Critério:
    • Se L<1 então \sum a_{n} converge absolutamente (e portanto converge).
    • Se L>1 então \sum a_{n} diverge.
    • Se L=1 o teste é inconclusivo.
  • Observação: calcular L pode ser fácil quando há fator n!, c^{n}, n^{\alpha} etc.

Passo 7

Teste da raiz de Cauchy (root test) — útil quando a_{n} é algo elevado a n:
  • Defina
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}.
  • Critério:
    • Se L<1 então \sum a_{n} converge absolutamente.
    • Se L>1 então \sum a_{n} diverge.
    • Se L=1 o teste é inconclusivo.
  • Observação: \limsup é usado para lidar com oscilações; para muitas séries o limite existe e basta \lim.

Passo 8

Teste da integral (integral test) — para séries com termos dados por função positiva decrescente:
  • Hipóteses: exista função f(x) contínua, positiva e monotonicamente decrescente em [N,\infty) tal que a_{n}=f(n).
  • Critério:
    • \sum_{n=N}^{\infty} a_{n} converge se e somente se a integral imprópria \displaystyle\int_{N}^{\infty} f(x)\,dx converge.
  • Uso prático: comparar com integrais que se sabe avaliar, especialmente para a_{n} com forma racional em n ou 1/n^{p}.

Passo 9

Teste de Leibniz (alternating series test) — para séries alternadas:
  • Série do tipo \sum (-1)^{n} b_{n} ou \sum (-1)^{n} b_{n+1} com b_{n}\ge0.
  • Hipóteses: b_{n} é monotonicamente decrescente (a partir de certo ponto) e \lim_{n\to\infty} b_{n}=0.
  • Conclusão: a série converge (pode ser condicional). Além disso, o erro ao truncar após N termos é no máximo b_{N+1}.
  • Observação: se \sum b_{n} converge então há convergência absoluta; Leibniz trata do caso onde \sum b_{n} diverge mas a alternância garante convergência.

Passo 10

Convergência absoluta vs condicional:
  • Definições:
    • \sum a_{n} converge absolutamente se \sum |a_{n}| converge.
    • Se \sum a_{n} converge mas \sum |a_{n}| diverge, diz-se que converge condicionalmente.
  • Importante: muitos testes (razão, raiz, comparação direta) decidem convergência absoluta; Leibniz pode dar convergência condicional.

Passo 11

Testes para séries com sinais mistos/coeficientes oscilantes (Dirichlet e Abel) — úteis quando temos produto de duas sequências:
  • Dirichlet:
    • Hipóteses: A_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k} é limitada (existe M tal que |A_{n}|\le M para todo n) e b_{n} é monotonicamente decrescente com \lim_{n\to\infty} b_{n}=0.
    • Conclusão: \sum a_{n} b_{n} converge.
    • Uso típico: a_{n} oscilante com somas parciais controladas (p.ex. a_{n}=\sin n), e b_{n}\to0 monotona.
  • Abel:
    • Hipóteses: A_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k} é limitada (ou \sum a_{n} converge) e b_{n} é monotona e limitada.
    • Conclusão: \sum a_{n} b_{n} converge.
    • Observação: Abel é útil quando b_{n} não tende a zero, mas é monotona e limitada.

Passo 12

Teste de Raabe (aprimora o teste da razão) — para termos positivos:
  • Definir
R=\lim_{n\to\infty} n\!\left(1-\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right),
assumindo que o limite existe.
  • Critério:
    • Se R>1 então \sum a_{n} converge.
    • Se R<1 então \sum a_{n} diverge.
    • Se R=1 o teste é inconclusivo.
  • Observação: é útil quando a razão tende a 1 (caso onde o teste da razão falha).

Passo 13

Criterio de condensação de Cauchy — para termos positivos decrescentes:
  • Hipóteses: a_{n} positiva e decrescente.
  • Critério:
\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\\ \text{converge} \iff \sum_{k=0}^{\infty} 2^{k} a_{2^{k}}\\ \text{converge}.
  • Uso: transformar séries de cauda lenta (p.ex. 1/(n(\log n)^{p})) em séries mais simples para testar convergência.

Passo 14

Resumo prático e escolha de teste (estratégia na prova):
  • Sempre verificar \lim a_{n}=0. Se não for zero, termina aí: diverge.
  • Identificar a natureza de a_{n}:
    • termos positivos simples → comparar com p-series ou usar comparação por limite ou integral;
    • presença de fator n!, c^{n} ou potências → usar razão ou raiz;
    • expressão com n^{\alpha} e logaritmos → integral, comparação ou condensação de Cauchy;
    • alternância de sinais → testar Leibniz (se termos decrescem e vão a zero) e checar convergência absoluta;
    • produto de sequência oscilante por sequência monotona → usar Dirichlet ou Abel.
  • Se um teste der resultado inconclusivo ( =1 na razão/raiz ou limite na comparação lim = 1), tente um teste mais refinado (Raabe, condensação, integral) ou reescrever a série para comparar.

Resposta

Teste da condição necessária: \lim_{n\to\infty} a_{n}=0 é necessário para convergência; se \lim a_{n}\neq0 a série diverge.
Série geométrica: \sum r^{n} converge sse |r|<1.
Série p: \sum \dfrac{1}{n^{p}} converge sse p>1.
Comparação direta: para a_{n},b_{n}\ge0, se a_{n}\le b_{n} e \sum b_{n} converge então \sum a_{n} converge; análogo para divergência.
Comparação por limite: se a_{n},b_{n}>0 e \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{b_{n}}=c\in(0,\infty), então \sum a_{n} e \sum b_{n} têm o mesmo comportamento.
Teste da razão (d’Alembert): L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|; se L<1 converge absolutamente, se L>1 diverge, se L=1 inconclusivo.
Teste da raiz (Cauchy): L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}; se L<1 converge absolutamente, se L>1 diverge, se L=1 inconclusivo.
Teste da integral: para a_{n}=f(n) com f positiva e decrescente, \sum a_{n} converge sse \displaystyle\int f(x)\,dx converge.
Teste de Leibniz (alternating): se b_{n}\ge0 decrescente e \lim b_{n}=0, então \sum (-1)^{n}b_{n} converge.
Dirichlet: se A_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k} é limitada e b_{n} é monotona com b_{n}\to0, então \sum a_{n}b_{n} converge.
Abel: se A_{n}=\sum_{k=1}^{n} a_{k} é limitada e b_{n} é monotona e limitada, então \sum a_{n}b_{n} converge.
Raabe: R=\lim_{n\to\infty} n\!\left(1-\dfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\right); se R>1 converge, se R<1 diverge, se R=1 inconclusivo.
Cauchy (condensation): para a_{n}\ge0 decrescente, \sum a_{n} converge sse \sum 2^{k}a_{2^{k}} converge.

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