Em uma livraria, o lucro mensal L é uma função do número de vendedores, x, e do capital investido em livros, y (y em milhares de reais). Em certa época tem-se L(x, y)= 400-(12-x)^2-(40-y)^2. Calcule partial Lpartial x e partial Lpartial y.

Passo 1

A função dada é L(x,y)=400-(12-x)^2-(40-y)^2; o objetivo é achar as derivadas parciais partial Lpartial x e partial Lpartial y. Para isso vamos usar a regra da cadeia e a derivada de uma potência.

Passo 2

Para calcular partial Lpartial x, note que L=400 - u^2 - v^2 com u=12-x e v=40-y. A parte que depende de x é -u^2. Aplicando derivada:
partialpartial xl[-(12-x)^2r] = -2(12-x)cdotddx(12-x) = -2(12-x)cdot(-1) = 2(12-x)
Como o termo -(40-y)^2 não depende de x, sua derivada em relação a x é zero. Logo,
partial Lpartial x = 2(12-x)

Passo 3

Para calcular partial Lpartial y, examinamos a parte que depende de y, que é -(40-y)^2. Aplicando derivada:
partialpartial yl[-(40-y)^2r] = -2(40-y)cdotddy(40-y) = -2(40-y)cdot(-1) = 2(40-y)
O termo -(12-x)^2 não depende de y, então sua derivada em relação a y é zero. Portanto,
partial Lpartial y = 2(40-y)

Resposta

partial Lpartial x = 2(12 - x), partial Lpartial y = 2(40 - y)

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