Verifique, por indução, as seguintes fórmulas para n >= 1 :
5+9+13+ldots+(4 n+1)=n(2 n+3)

Passo 1

Vamos verificar a afirmação dada pelo enunciado: a soma da sequência 5 + 9 + 13 + ldots + (4n + 1) é igual a n(2n + 3) para todo n >= 1. Para resolver isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que nos permite provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um determinado valor.

Passo 2

Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para n = 1.
Calculando a soma para n = 1:
5 = 1(2 times 1 + 3) = 1 times 5 = 5
Como ambos os lados são iguais, a base da indução é válida.

Passo 3

Hipótese de Indução: Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum n = k, ou seja:
5 + 9 + 13 + ldots + (4k + 1) = k(2k + 3)

Passo 4

Passo Indutivo: Precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para n = k + 1. Vamos adicionar o próximo termo da sequência à soma assumida na hipótese de indução:
5 + 9 + 13 + ldots + (4k + 1) + [4(k + 1) + 1] = k(2k + 3) + (4k + 5)
Simplificando o lado direito:
k(2k + 3) + 4k + 5 = 2k^2 + 3k + 4k + 5 = 2k^2 + 7k + 5
Agora, vamos verificar se isso é igual a (k + 1)(2(k + 1) + 3):
(k + 1)(2k + 2 + 3) = (k + 1)(2k + 5) = 2k^2 + 5k + 2k + 5 = 2k^2 + 7k + 5
Como os dois lados são iguais, a afirmação é verdadeira para n = k + 1.

Resposta

Portanto, por indução matemática, a fórmula 5 + 9 + 13 + ldots + (4n + 1) = n(2n + 3) é verdadeira para todo n >= 1.

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