Verifique, por indução, as seguintes fórmulas para
:
Passo 1
Vamos verificar a afirmação dada pelo enunciado: a soma da sequência
é igual a
para todo
. Para resolver isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que nos permite provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um determinado valor.
Passo 2
Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para
.
Calculando a soma para
:
Como ambos os lados são iguais, a base da indução é válida.
Passo 3
Hipótese de Indução: Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum
, ou seja:
Passo 4
Passo Indutivo: Precisamos mostrar que a afirmação também é verdadeira para
. Vamos adicionar o próximo termo da sequência à soma assumida na hipótese de indução:
Simplificando o lado direito:
Agora, vamos verificar se isso é igual a
:
Como os dois lados são iguais, a afirmação é verdadeira para
.
Resposta
Portanto, por indução matemática, a fórmula
é verdadeira para todo
.