Mostre por indução que:
Seja x in R, x>0. Então (1+x)^2 n>1+2 n x para todo n in N.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar, usando o método de indução matemática, que para todo número real positivo $ x $ e para todo número natural $ n $, a seguinte inequação é verdadeira:
x
Para isso, vamos usar conceitos básicos de matemática, como propriedades de potências e o próprio processo de indução.

Passo 2

Base da indução: Primeiro, vamos verificar se a inequação é verdadeira para $ n = 1 $.
Substituindo $ n = 1 $ na inequação:
n = 1
Simplificando:
n = 1
Calculando o lado esquerdo:
(1 + x)^2 cdot 1 > 1 + 2 cdot 1 cdot x
Então, a inequação fica:
(1 + x)^2 > 1 + 2x
Podemos subtrair $ 1 + 2x $ de ambos os lados:
(1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2
Como $ x > 0 $, $ x^2 $ também é positivo. Portanto, a inequação é verdadeira para $ n = 1 $.

Passo 3

Hipótese de indução: Agora, vamos supor que a inequação é verdadeira para algum $ n = k $, ou seja:
n = k
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Passo indutivo: Precisamos mostrar que, se a inequação é verdadeira para $ n = k $, então ela também é verdadeira para $ n = k + 1 $. Ou seja, precisamos provar que:
n = k
Vamos trabalhar o lado esquerdo da inequação:
n = k + 1
Sabemos que $ (1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 $. Então:
(1 + x)^2(k + 1) > 1 + 2(k + 1) x

Passo 5

Pela hipótese de indução, sabemos que $ (1 + x)^{2k} > 1 + 2k x $. Portanto, podemos substituir na expressão acima:
(1 + x)^2k > 1 + 2k x

Passo 6

Vamos multiplicar os dois polinômios no lado direito:
(1 + 2x + x^2)(1 + 2k x) = 1 cdot 1 + 1 cdot 2k x + 2x cdot 1 + 2x cdot 2k x + x^2 cdot 1 + x^2 cdot 2k x
Simplificando:
= 1 + 2k x + 2x + 4k x^2 + x^2 + 2k x^3
Agrupando termos semelhantes:
= 1 + (2k x + 2x) + (4k x^2 + x^2) + 2k x^3
Fatorando:
= 1 + 2(k + 1)x + (4k + 1)x^2 + 2k x^3

Passo 7

Queremos mostrar que isso é maior que $ 1 + 2(k + 1)x $. Observamos que além de $ 1 + 2(k + 1)x $, temos termos adicionais positivos:
1 + 2(k + 1)x
Como $ x > 0 $ e $ k $ é um número natural, esses termos são positivos. Portanto:
1 + 2(k + 1)x
Isso implica que:
(4k + 1)x^2 + 2k x^3 > 0

Passo 8

Concluímos que, se a inequação é verdadeira para $ n = k $, então ela também é verdadeira para $ n = k + 1 $.

Passo 9

Como verificamos o caso base ($ n = 1 $) e mostramos que a verdade para $ n = k $ implica a verdade para $ n = k + 1 $, pela indução matemática, a inequação:
n = 1
é verdadeira para todo $ n \in \mathbb{N} $ e $ x > 0 $.

Resposta

Portanto, provamos por indução que $ (1 + x)^{2n} > 1 + 2n x $ para todo $ n \in \mathbb{N} $ e $ x > 0 $.

Exercícios relacionados