Mostre por indução que:
Seja
. Então
para todo
.
Seja
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar, usando o método de indução matemática, que para todo número real positivo $ x $ e para todo número natural $ n $, a seguinte inequação é verdadeira:
Para isso, vamos usar conceitos básicos de matemática, como propriedades de potências e o próprio processo de indução.
Passo 2
Base da indução: Primeiro, vamos verificar se a inequação é verdadeira para $ n = 1 $.
Substituindo $ n = 1 $ na inequação:
Simplificando:
Calculando o lado esquerdo:
Então, a inequação fica:
Podemos subtrair $ 1 + 2x $ de ambos os lados:
Como $ x > 0 $, $ x^2 $ também é positivo. Portanto, a inequação é verdadeira para $ n = 1 $.
Passo 3
Hipótese de indução: Agora, vamos supor que a inequação é verdadeira para algum $ n = k $, ou seja:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Passo indutivo: Precisamos mostrar que, se a inequação é verdadeira para $ n = k $, então ela também é verdadeira para $ n = k + 1 $. Ou seja, precisamos provar que:
Vamos trabalhar o lado esquerdo da inequação:
Sabemos que $ (1 + x)^2 = 1 + 2x + x^2 $. Então:
Passo 5
Pela hipótese de indução, sabemos que $ (1 + x)^{2k} > 1 + 2k x $. Portanto, podemos substituir na expressão acima:
Passo 6
Vamos multiplicar os dois polinômios no lado direito:
Simplificando:
Agrupando termos semelhantes:
Fatorando:
Passo 7
Queremos mostrar que isso é maior que $ 1 + 2(k + 1)x $. Observamos que além de $ 1 + 2(k + 1)x $, temos termos adicionais positivos:
Como $ x > 0 $ e $ k $ é um número natural, esses termos são positivos. Portanto:
Isso implica que:
Passo 8
Concluímos que, se a inequação é verdadeira para $ n = k $, então ela também é verdadeira para $ n = k + 1 $.
Passo 9
Como verificamos o caso base ($ n = 1 $) e mostramos que a verdade para $ n = k $ implica a verdade para $ n = k + 1 $, pela indução matemática, a inequação:
é verdadeira para todo $ n \in \mathbb{N} $ e $ x > 0 $.
Resposta
Portanto, provamos por indução que $ (1 + x)^{2n} > 1 + 2n x $ para todo $ n \in \mathbb{N} $ e $ x > 0 $.