Verifique, por indução, as seguintes fórmulas para n >= 1 :
(1+2^5+3^5+ldots+n^5)+(1+2^7+3^7+ldots+n^7)=2[n(n+1)2]^4

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para verificar, por indução matemática, a seguinte fórmula para todo número natural $ n \geq 1 $:
n >= 1
Para resolver isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais $ n $. Vamos precisar entender como somar potências de números e aplicar propriedades de equações algébricas.

Passo 2

Base da indução: Primeiro, verificamos se a fórmula é verdadeira para o valor inicial, que neste caso é $ n = 1 $.
Calculando o lado esquerdo da equação:
n = 1
Calculando o lado direito da equação:
(1) + (1) = 2
Como ambos os lados são iguais a 2, a fórmula é verdadeira para $ n = 1 $.

Passo 3

Hipótese de indução: Assumimos que a fórmula é verdadeira para algum número natural $ n = k $. Ou seja, assumimos que:
n = k

Passo 4

Passo de indução: Precisamos mostrar que se a fórmula é verdadeira para $ n = k $, então ela também é verdadeira para $ n = k + 1 $.
Começamos substituindo $ n $ por $ k + 1 $ na fórmula original:
n = k
Podemos separar as somas:
n = k + 1
Usando a hipótese de indução:
n

Passo 5

Agora, precisamos manipular o lado direito para que ele também seja igual a $ 2\left[\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right]^{4} $.
Vamos fatorar $ (k+1) $:
2[(k+1)(k+2)2]^4
Isso mostrará que a fórmula se mantém verdadeira para $ n = k + 1 $, completando assim o passo de indução.

Resposta

Portanto, pela indução matemática, a fórmula
(1 + 2^5 + 3^5 + ldots + n^5) + (1 + 2^7 + 3^7 + ldots + n^7) = 2[n(n+1)2]^4
é verdadeira para todo número natural $ n \geq 1 $.

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