Verifique, por indução, as seguintes fórmulas para
:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para verificar, por indução matemática, a seguinte fórmula para todo número natural $ n \geq 1 $:
Para resolver isso, vamos usar o princípio da indução matemática, que é uma técnica para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais $ n $. Vamos precisar entender como somar potências de números e aplicar propriedades de equações algébricas.
Passo 2
Base da indução: Primeiro, verificamos se a fórmula é verdadeira para o valor inicial, que neste caso é $ n = 1 $.
Calculando o lado esquerdo da equação:
Calculando o lado direito da equação:
Como ambos os lados são iguais a 2, a fórmula é verdadeira para $ n = 1 $.
Passo 3
Hipótese de indução: Assumimos que a fórmula é verdadeira para algum número natural $ n = k $. Ou seja, assumimos que:
Passo 4
Passo de indução: Precisamos mostrar que se a fórmula é verdadeira para $ n = k $, então ela também é verdadeira para $ n = k + 1 $.
Começamos substituindo $ n $ por $ k + 1 $ na fórmula original:
Podemos separar as somas:
Usando a hipótese de indução:
Passo 5
Agora, precisamos manipular o lado direito para que ele também seja igual a $ 2\left[\frac{(k+1)(k+2)}{2}\right]^{4} $.
Vamos fatorar $ (k+1) $:
Isso mostrará que a fórmula se mantém verdadeira para $ n = k + 1 $, completando assim o passo de indução.
Resposta
Portanto, pela indução matemática, a fórmula
é verdadeira para todo número natural $ n \geq 1 $.