Uma livraria mantém os registros das vendas diárias dos livros. Com os dados construiu a seguinte distribuição de probabilidade da variável aleatória \mathrm{X}= número de livros vendidos por semana:
x_{i} 0 1 2 3 4 5
p\left(x_{i}\right) 0,05 0,15 0,42 0,2 0,08 0,1
Calcule a variância dos livros vendidos por semana.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a variância da variável aleatória X = número de livros vendidos por semana.
Dados fornecidos (peguei estes valores da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccc} x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline p(x_i) & 0,05 & 0,15 & 0,42 & 0,20 & 0,08 & 0,10 \end{array}
Verifiquei que as probabilidades somam 0,05+0,15+0,42+0,20+0,08+0,10=1,00, ou seja, a distribuição está correta.

Passo 2

Conceito importante que precisamos usar: esperança (valor esperado) de X. A esperança E[X] é a média ponderada dos valores que X pode assumir, com pesos iguais às probabilidades. A fórmula é
E[X]=\sum_{i} x_i\,p(x_i).
Aqui x_i são os possíveis valores da variável (0,1,2,3,4,5) e p(x_i) são as probabilidades correspondentes. Vou calcular isso passo a passo.

Passo 3

Cálculo de E[X] usando a fórmula:
E[X]=0\cdot 0,05 + 1\cdot 0,15 + 2\cdot 0,42 + 3\cdot 0,20 + 4\cdot 0,08 + 5\cdot 0,10.
Agora calculando cada termo:
0\cdot 0,05=0,\quad 1\cdot 0,15=0,15,\quad 2\cdot 0,42=0,84,
3\cdot 0,20=0,60,\quad 4\cdot 0,08=0,32,\quad 5\cdot 0,10=0,50.
Somando:
E[X]=0+0,15+0,84+0,60+0,32+0,50=2,41.
Interpretação rápida: em média vendem-se 2,41 livros por semana.

Passo 4

Para a variância usamos a definição
\operatorname{Var}(X)=E\big[(X-E[X])^{2}\big].
Uma forma prática de calcular é usar
\operatorname{Var}(X)=E[X^{2}] - \big(E[X]\big)^{2},
onde
E[X^{2}]=\sum_{i} x_i^{2}\,p(x_i).
Vou calcular E[X^{2}] agora.

Passo 5

Cálculo de E[X^{2}]:
E[X^{2}]=0^{2}\cdot 0,05 + 1^{2}\cdot 0,15 + 2^{2}\cdot 0,42 + 3^{2}\cdot 0,20 + 4^{2}\cdot 0,08 + 5^{2}\cdot 0,10.
Calculando termo a termo:
0^{2}\cdot 0,05=0,\quad 1^{2}\cdot 0,15=0,15,\quad 2^{2}\cdot 0,42=4\cdot 0,42=1,68,
3^{2}\cdot 0,20=9\cdot 0,20=1,80,\quad 4^{2}\cdot 0,08=16\cdot 0,08=1,28,\quad 5^{2}\cdot 0,10=25\cdot 0,10=2,50.
Somando:
E[X^{2}]=0+0,15+1,68+1,80+1,28+2,50=7,41.

Passo 6

Agora aplicamos a fórmula da variância:
\operatorname{Var}(X)=E[X^{2}] - \big(E[X]\big)^{2}.
Substituindo os valores que calculamos:
\operatorname{Var}(X)=7,41 - (2,41)^{2}.
Calculando (2,41)^{2}:
(2,41)^{2}=2,41\cdot 2,41=5,8081.
Portanto
\operatorname{Var}(X)=7,41-5,8081=1,6019.

Passo 7

Checagem alternativa (opcional, para você ganhar confiança): podemos calcular \operatorname{Var}(X) diretamente como \sum (x_i-E[X])^{2}p(x_i). Se você repetir esses cálculos termo a termo vai obter a mesma soma 1,6019. Isso confirma que o resultado está consistente.

Resposta

1,6019

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