Uma livraria mantém os registros das vendas diárias dos livros. Com os dados construiu a seguinte distribuição de probabilidade da variável aleatória
número de livros vendidos por semana:
0
1
2
3
4
5
0,05
0,15
0,42
0,2
0,08
0,1
Seja
o lucro da livraria em função dos livros vendidos. Qual o lucro esperado da livraria?
|
|
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
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0,05 | 0,15 | 0,42 | 0,2 | 0,08 | 0,1 |
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de probabilidade discreta da variável aleatória
(número de livros vendidos por semana) e define o lucro como
. O que nos pedem é o lucro esperado da livraria, isto é, calcular
.
Dados fornecidos (peguei os valores da tabela do enunciado):
Pergunta que devemos responder: qual é
, sendo
?
Passo 2
Vamos lembrar conceitos importantes (aula rápida e prática):
- A esperança (valor esperado) de uma variável aleatória discreta
é
onde
são os valores possíveis e
as respectivas probabilidades.
- Propriedade de linearidade da esperança: para constantes
e função ,
Em particular, se
, então
Explicação do porquê: a esperança soma as contribuições ponderadas pelas probabilidades; multiplicar por constante sai da soma e somar/subtrair constante afeta a esperança somando/subtraindo essa constante (pois
quando
é constante).
Portanto precisamos calcular
e
.
Passo 3
Calcular
passo a passo usando a definição:
Agora calculo cada termo:
Somando:
Passo 4
Calcular
passo a passo:
Cada termo:
Somando:
Passo 5
Usando a linearidade (já escrita no Passo 2):
Substituindo os valores que calculamos:
Faço as contas em etapas:
Portanto
.
Passo 6
Verificação alternativa (opcional, mas bom para confiar no resultado): calcular diretamente
, onde
. Primeiro calculo
para cada
:
Agora os produtos
:
Somando:
confirma o resultado do Passo 5.