Uma livraria mantém os registros das vendas diárias dos livros. Com os dados construiu a seguinte distribuição de probabilidade da variável aleatória \mathrm{X}= número de livros vendidos por semana:
x_{i} 0 1 2 3 4 5
p\left(x_{i}\right) 0,05 0,15 0,42 0,2 0,08 0,1
Seja Y=3 X^{2}+X-2 o lucro da livraria em função dos livros vendidos. Qual o lucro esperado da livraria?

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidade discreta da variável aleatória X (número de livros vendidos por semana) e define o lucro como Y=3X^{2}+X-2. O que nos pedem é o lucro esperado da livraria, isto é, calcular \mathbb{E}[Y].
Dados fornecidos (peguei os valores da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccc} x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline p(x_i) & 0,05 & 0,15 & 0,42 & 0,20 & 0,08 & 0,10 \end{array}
Pergunta que devemos responder: qual é \mathbb{E}[Y], sendo Y=3X^{2}+X-2?

Passo 2

Vamos lembrar conceitos importantes (aula rápida e prática):
  • A esperança (valor esperado) de uma variável aleatória discreta X é
\mathbb{E}[X]=\sum_{i} x_i\,p(x_i),
onde x_i são os valores possíveis e p(x_i) as respectivas probabilidades.
  • Propriedade de linearidade da esperança: para constantes a,b e função g,
\mathbb{E}[a\,g(X)+b]=a\,\mathbb{E}[g(X)]+b.
Em particular, se Y=3X^{2}+X-2, então
\mathbb{E}[Y]=3\,\mathbb{E}[X^{2}]+\mathbb{E}[X]-2.
Explicação do porquê: a esperança soma as contribuições ponderadas pelas probabilidades; multiplicar por constante sai da soma e somar/subtrair constante afeta a esperança somando/subtraindo essa constante (pois \mathbb{E}[c]=c quando c é constante).
Portanto precisamos calcular \mathbb{E}[X] e \mathbb{E}[X^{2}].

Passo 3

Calcular \mathbb{E}[X] passo a passo usando a definição:
\mathbb{E}[X]=\sum x_i p(x_i)=0\cdot0,05+1\cdot0,15+2\cdot0,42+3\cdot0,20+4\cdot0,08+5\cdot0,10.
Agora calculo cada termo:
0\cdot0,05=0,
1\cdot0,15=0,15,
2\cdot0,42=0,84,
3\cdot0,20=0,60,
4\cdot0,08=0,32,
5\cdot0,10=0,50.
Somando:
\mathbb{E}[X]=0+0,15+0,84+0,60+0,32+0,50=2,41.

Passo 4

Calcular \mathbb{E}[X^{2}] passo a passo:
\mathbb{E}[X^{2}]=\sum x_i^{2} p(x_i)=0^{2}\cdot0,05+1^{2}\cdot0,15+2^{2}\cdot0,42+3^{2}\cdot0,20+4^{2}\cdot0,08+5^{2}\cdot0,10.
Cada termo:
0^{2}\cdot0,05=0,
1^{2}\cdot0,15=0,15,
2^{2}\cdot0,42=4\cdot0,42=1,68,
3^{2}\cdot0,20=9\cdot0,20=1,80,
4^{2}\cdot0,08=16\cdot0,08=1,28,
5^{2}\cdot0,10=25\cdot0,10=2,50.
Somando:
\mathbb{E}[X^{2}]=0+0,15+1,68+1,80+1,28+2,50=7,41.

Passo 5

Usando a linearidade (já escrita no Passo 2):
\mathbb{E}[Y]=3\,\mathbb{E}[X^{2}]+\mathbb{E}[X]-2.
Substituindo os valores que calculamos:
\mathbb{E}[Y]=3\cdot7,41+2,41-2.
Faço as contas em etapas:
3\cdot7,41=22,23,
22,23+2,41=24,64,
24,64-2=22,64.
Portanto \mathbb{E}[Y]=22,64.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, mas bom para confiar no resultado): calcular diretamente \mathbb{E}[Y]=\sum y(x_i)\,p(x_i), onde y(x)=3x^{2}+x-2. Primeiro calculo y(x_i) para cada x_i:
\begin{array}{c|cccccc} x_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline y(x_i) & -2 & 2 & 12 & 28 & 50 & 78 \end{array}
Agora os produtos y(x_i)p(x_i):
-2\cdot0,05=-0,10,\quad 2\cdot0,15=0,30,\quad 12\cdot0,42=5,04,
28\cdot0,20=5,60,\quad 50\cdot0,08=4,00,\quad 78\cdot0,10=7,80.
Somando:
-0,10+0,30+5,04+5,60+4,00+7,80=22,64,
confirma o resultado do Passo 5.

Resposta

22,64

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