2- Considere o lançamento de duas moedas, onde a variável aleatória
número de caras obtidas no lançamento de 2 moedas. A função de probabilidade é:
0
1
2
Calcule e interprete
.
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0 | 1 | 2 |
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Passo 1
O enunciado pede para calcular e interpretar
, onde
é o número de caras no lançamento de duas moedas. Informações dadas (tirei diretamente da tabela do enunciado):
Perguntas que precisamos responder:
- Calcular numericament e
. - Interpretar o que esse número significa no contexto do experimento.
Passo 2
Definição e ideia do que vamos usar: para uma variável aleatória discreta
que assume valores
com probabilidades
, o valor esperado (ou esperança) é
O que isso quer dizer em palavras: multiplico cada valor possível
pelo quão provável ele é
e somo tudo. O resultado é a média ponderada dos possíveis valores de
— pense nisso como a média que você esperaria obter se repetisse o experimento muitas vezes.
Aqui, as variáveis são:
-
: os possíveis números de caras: . -
: as probabilidades associadas a esses valores (fornecidas na tabela).
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: vou calcular termo a termo.
Passo 4
Faço as contas para cada termo:
Somando os termos:
Passo 5
Uma maneira alternativa (útil na prova) e intuitiva de chegar ao mesmo resultado, sem usar a tabela: pense em cada moeda separadamente. Defina variáveis indicadoras:
-
se a primeira moeda der cara, caso contrário. -
se a segunda moeda der cara, caso contrário.
Então. Para cada moeda justa, . Pela linearidade da esperança,
Esse argumento é curto e poderoso: soma das esperanças = esperança da soma.
Passo 6
Interpretação final e intuição prática:
significa que, em média, obtemos uma cara por experimento (um experimento = lançar as duas moedas). Se você repetir o experimento muitas vezes, a média do número de caras por ensaio tende a aproximar
. Por exemplo, em
ensaios esperaríamos, em média, cerca de
caras no total (ou seja, uma média de
por ensaio).
Resposta
Em média obtemos