2- Considere o lançamento de duas moedas, onde a variável aleatória \mathrm{X}= número de caras obtidas no lançamento de 2 moedas. A função de probabilidade é:
x_{i} 0 1 2
p\left(x_{i}\right) 1 / 4 1 / 2 1 / 4
Calcule e interprete E(X).

Passo 1

O enunciado pede para calcular e interpretar E(X), onde X é o número de caras no lançamento de duas moedas. Informações dadas (tirei diretamente da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|ccc} x_i & 0 & 1 & 2\\hline p(x_i) & \tfrac{1}{4} & \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{4} \end{array}
Perguntas que precisamos responder:
  1. Calcular numericament e E(X).
  2. Interpretar o que esse número significa no contexto do experimento.

Passo 2

Definição e ideia do que vamos usar: para uma variável aleatória discreta X que assume valores \{x_i\} com probabilidades p(x_i), o valor esperado (ou esperança) é
E(X)=\sum_i x_i\,p(x_i).
O que isso quer dizer em palavras: multiplico cada valor possível x_i pelo quão provável ele é p(x_i) e somo tudo. O resultado é a média ponderada dos possíveis valores de X — pense nisso como a média que você esperaria obter se repetisse o experimento muitas vezes.
Aqui, as variáveis são:
  • x_i: os possíveis números de caras: 0,1,2.
  • p(x_i): as probabilidades associadas a esses valores (fornecidas na tabela).

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: vou calcular termo a termo.
E(X)=0\cdot \tfrac{1}{4} + 1\cdot \tfrac{1}{2} + 2\cdot \tfrac{1}{4}.

Passo 4

Faço as contas para cada termo:
0\cdot \tfrac{1}{4}=0,
1\cdot \tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2},
2\cdot \tfrac{1}{4}=\tfrac{2}{4}=\tfrac{1}{2}.
Somando os termos:
E(X)=0+\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1.

Passo 5

Uma maneira alternativa (útil na prova) e intuitiva de chegar ao mesmo resultado, sem usar a tabela: pense em cada moeda separadamente. Defina variáveis indicadoras:
  • I_1=1 se a primeira moeda der cara, 0 caso contrário.
  • I_2=1 se a segunda moeda der cara, 0 caso contrário.
    Então X=I_1+I_2. Para cada moeda justa, E(I_j)=\Pr(\text{cara})=\tfrac{1}{2}. Pela linearidade da esperança,
E(X)=E(I_1)+E(I_2)=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{2}=1.
Esse argumento é curto e poderoso: soma das esperanças = esperança da soma.

Passo 6

Interpretação final e intuição prática: E(X)=1 significa que, em média, obtemos uma cara por experimento (um experimento = lançar as duas moedas). Se você repetir o experimento muitas vezes, a média do número de caras por ensaio tende a aproximar 1. Por exemplo, em 1000 ensaios esperaríamos, em média, cerca de 1000 caras no total (ou seja, uma média de 1 por ensaio).

Resposta

E(X)=1
Em média obtemos 1 cara por lançamento das duas moedas (o número médio de caras por ensaio é 1).

Exercícios relacionados