Uma livraria vai montar um clube do livro e precisa escolher um livro para cada um dos próximos 12 meses. Há 25 livros no catálogo. 10 são nacionais e 15 internacionais. Quantos roteiros livro-mês podem ser criados se:
devem intercalar livros nacionais e internacionais?
devem intercalar livros nacionais e internacionais?
Passo 1
O enunciado pede: quantos roteiros livro-mês diferentes uma livraria pode montar para os próximos
meses se os livros devem intercalar nacionais e internacionais?\n\nInformações relevantes dadas pelo enunciado:\n- O catálogo tem
livros no total.\n- Destes,
são nacionais.\n- Destes,
são internacionais.\n- Precisamos escolher um livro para cada um dos
meses, formando uma sequência mês a mês.\n- Deve haver alternância entre nacional e internacional (isto é, os meses seguem N, I, N, I, … ou I, N, I, N, …).\n\nObservação importante (interpretada como parte do enunciado estar adequadamente formulado): assumiremos que não se repete o mesmo livro em meses diferentes (cada livro escolhido é distinto). Esta é a interpretação padrão quando se escolhe “um livro para cada mês” a partir de um catálogo.
Passo 2
Entendimento da alternância e da quantidade necessária de cada tipo:\n- Como são
meses e a alternância é perfeita, a sequência terá exatamente
meses com livro nacional e
meses com livro internacional. Isso porque
.\n- Verificamos disponibilidade: há
nacionais disponíveis para preencher
vagas e
internacionais para preencher
vagas. Então a alternância é possível sem repetir (dentro da nossa suposição de não repetição).
Passo 3
Princípio de contagem que vamos usar (explicação didática):\n- Quando temos duas escolhas independentes que devem ocorrer em sequência, o número total de possibilidades é o produto do número de possibilidades de cada escolha (princípio multiplicativo).\n- Aqui temos várias etapas: escolher quais nacionais ocupam as posições nacionais e em que ordem; escolher quais internacionais ocupam as posições internacionais e em que ordem; e escolher qual tipo começa no mês 1 (nacional ou internacional).\n- Como a ordem dos meses importa (janeiro, fevereiro, …), estamos lidando com arranjos (permutations) sem repetição. Um arranjo de
elementos escolhidos dentre
possíveis, quando a ordem importa e não há repetição, é dado por\n
\nonde
(fatorial de
) significa
. Aqui
conta sequências ordenadas de comprimento
tiradas de um conjunto de
elementos.
Passo 4
Aplicando ao caso dos livros nacionais (explicação e cálculo passo a passo):\n- Precisamos escolher e ordenar
livros nacionais dentre
disponíveis. O número de maneiras de fazer isso é\n
\n- Calculando diretamente como produto decrescente (mais prático em prova):\n
\n- Vamos multiplicar passo a passo:\n
\n
\n
\n
\n
\nPortanto\n
Passo 5
Aplicando ao caso dos livros internacionais (explicação e cálculo passo a passo):\n- Precisamos escolher e ordenar
livros internacionais dentre
disponíveis. O número de maneiras é\n
\nque também podemos escrever como produto decrescente:\n
\n- Multiplicando passo a passo:\n
\n
\n
\n
\n
\nPortanto\n
Passo 6
Contando todas as possibilidades combinando nacionais e internacionais:\n- Fixando um padrão de alternância (por exemplo, começar com nacional), as
posições nacionais podem ser preenchidas de
maneiras e as
posições internacionais de
maneiras. Pelo princípio multiplicativo, para esse padrão temos\n
\n- Contudo, há
padrões possíveis de alternância: começar com nacional (N, I, N, I, …) ou começar com internacional (I, N, I, N, …). Ambos exigem 6 de cada, e ambos são viáveis. Então multiplicamos por
:\n
Passo 7
Cálculo numérico final (mostrando multiplicações):\n
\n
\nMultiplicando pelos
padrões de início:\n
\nPortanto o número total de roteiros livro-mês que respeitam a alternância é
.