Uma livraria vai montar um clube do livro e precisa escolher um livro para cada um dos próximos 12 meses. Há 25 livros no catálogo. 10 são nacionais e 15 internacionais. Quantos roteiros livro-mês podem ser criados se:
devem intercalar livros nacionais e internacionais?

Passo 1

O enunciado pede: quantos roteiros livro-mês diferentes uma livraria pode montar para os próximos \,12\, meses se os livros devem intercalar nacionais e internacionais?\n\nInformações relevantes dadas pelo enunciado:\n- O catálogo tem \,25\, livros no total.\n- Destes, \,10\, são nacionais.\n- Destes, \,15\, são internacionais.\n- Precisamos escolher um livro para cada um dos \,12\, meses, formando uma sequência mês a mês.\n- Deve haver alternância entre nacional e internacional (isto é, os meses seguem N, I, N, I, … ou I, N, I, N, …).\n\nObservação importante (interpretada como parte do enunciado estar adequadamente formulado): assumiremos que não se repete o mesmo livro em meses diferentes (cada livro escolhido é distinto). Esta é a interpretação padrão quando se escolhe “um livro para cada mês” a partir de um catálogo.

Passo 2

Entendimento da alternância e da quantidade necessária de cada tipo:\n- Como são \,12\, meses e a alternância é perfeita, a sequência terá exatamente \,6\, meses com livro nacional e \,6\, meses com livro internacional. Isso porque \,12/2=6\,.\n- Verificamos disponibilidade: há \,10\, nacionais disponíveis para preencher \,6\, vagas e \,15\, internacionais para preencher \,6\, vagas. Então a alternância é possível sem repetir (dentro da nossa suposição de não repetição).

Passo 3

Princípio de contagem que vamos usar (explicação didática):\n- Quando temos duas escolhas independentes que devem ocorrer em sequência, o número total de possibilidades é o produto do número de possibilidades de cada escolha (princípio multiplicativo).\n- Aqui temos várias etapas: escolher quais nacionais ocupam as posições nacionais e em que ordem; escolher quais internacionais ocupam as posições internacionais e em que ordem; e escolher qual tipo começa no mês 1 (nacional ou internacional).\n- Como a ordem dos meses importa (janeiro, fevereiro, …), estamos lidando com arranjos (permutations) sem repetição. Um arranjo de \,k\, elementos escolhidos dentre \,n\, possíveis, quando a ordem importa e não há repetição, é dado por\n P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},\nonde \,n! (fatorial de \,n\,) significa 1\cdot2\cdot3\cdots n. Aqui \,P(n,k) conta sequências ordenadas de comprimento \,k\, tiradas de um conjunto de \,n\, elementos.

Passo 4

Aplicando ao caso dos livros nacionais (explicação e cálculo passo a passo):\n- Precisamos escolher e ordenar \,6\, livros nacionais dentre \,10\, disponíveis. O número de maneiras de fazer isso é\n P(10,6)=\frac{10!}{(10-6)!}=\frac{10!}{4!}.\n- Calculando diretamente como produto decrescente (mais prático em prova):\n P(10,6)=10\cdot9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5.\n- Vamos multiplicar passo a passo:\n 10\cdot9=90,\n 90\cdot8=720,\n 720\cdot7=5040,\n 5040\cdot6=30240,\n 30240\cdot5=151200.\nPortanto\n P(10,6)=151200.

Passo 5

Aplicando ao caso dos livros internacionais (explicação e cálculo passo a passo):\n- Precisamos escolher e ordenar \,6\, livros internacionais dentre \,15\, disponíveis. O número de maneiras é\n P(15,6)=\frac{15!}{(15-6)!}=\frac{15!}{9!},\nque também podemos escrever como produto decrescente:\n P(15,6)=15\cdot14\cdot13\cdot12\cdot11\cdot10.\n- Multiplicando passo a passo:\n 15\cdot14=210,\n 210\cdot13=2730,\n 2730\cdot12=32760,\n 32760\cdot11=360360,\n 360360\cdot10=3603600.\nPortanto\n P(15,6)=3603600.

Passo 6

Contando todas as possibilidades combinando nacionais e internacionais:\n- Fixando um padrão de alternância (por exemplo, começar com nacional), as \,6\, posições nacionais podem ser preenchidas de P(10,6) maneiras e as \,6\, posições internacionais de P(15,6) maneiras. Pelo princípio multiplicativo, para esse padrão temos\n P(10,6)\cdot P(15,6).\n- Contudo, há \,2\, padrões possíveis de alternância: começar com nacional (N, I, N, I, …) ou começar com internacional (I, N, I, N, …). Ambos exigem 6 de cada, e ambos são viáveis. Então multiplicamos por \,2\,:\n \text{total} = 2\cdot P(10,6)\cdot P(15,6).

Passo 7

Cálculo numérico final (mostrando multiplicações):\n P(10,6)=151200,\qquad P(15,6)=3603600.\n P(10,6)\cdot P(15,6)=151200\cdot3603600=544864320000.\nMultiplicando pelos \,2\, padrões de início:\n \text{total}=2\cdot544864320000=1089728640000.\nPortanto o número total de roteiros livro-mês que respeitam a alternância é \,1089728640000\,.

Resposta

1089728640000

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