Uma livraria vai montar um clube do livro e precisa escolher um livro para cada um dos próximos 12 meses. Há 25 livros no catálogo. 10 são nacionais e 15 internacionais. Quantos roteiros livro-mês podem ser criados se:
o livro Queijos brasileiros à mesa com cachaça, vinho e cerveja (nacional) e o livro É possível viver sem queijo (nacional) não podem ser incluídos juntos no roteiro?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma contagem:
  • 25 livros no catálogo.
  • Desses, 10 são nacionais e 15 são internacionais.
  • A livraria vai escolher um livro para cada um dos próximos 12 meses (ou seja, vamos formar uma sequência ordenada de 12 livros, um por mês).
  • Dois livros nacionais específicos (vou chamar de A = “Queijos brasileiros à mesa…” e B = “É possível viver sem queijo”) não podem aparecer juntos no roteiro: ou aparecem nenhum, ou aparece apenas um deles, mas não os dois ao mesmo tempo.
Pergunta: Quantos roteiros (sequências de 12 livros distintos, um por mês) podem ser criados respeitando a proibição de incluir A e B juntos?

Passo 2

Vamos contar primeiro todas as sequências possíveis sem restrição (ou seja, escolher e ordenar 12 livros distintos dentre 25). A escolha é uma permutação de 25 elementos tomados 12 a 12.
  • Fórmula: a permutação de n elementos tomados k a k é
P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}=n\cdot (n-1)\cdots (n-k+1).
Aqui n=25 e k=12, então
\text{total sem restrição} = P(25,12)=\frac{25!}{13!}.çã
Motivação didática: pensamos mês a mês. Para o primeiro mês temos 25 opções, para o segundo 24 (não repetimos), e assim até o décimo segundo mês com 25-11=14 opções, multiplicando todos esses números.

Passo 3

Agora contamos quantas sequências violam a restrição (isto é, contêm ambos A e B). Vamos subtrair essas da contagem total (princípio do complemento).
Para que ambos apareçam numa sequência de 12 meses:
  1. Escolhemos em quais posições aparecem A e B. Isso é uma permutação de 2 posições entre 12, ou seja P(12,2)=12\cdot 11 (equivalente a escolher 2 posições ordenadas, já que A e B são distintos).
  2. Nos 10 meses restantes, escolhemos e ordenamos 10 livros distintos dentre os outros 23 livros (os 25 menos A e B). Isso é P(23,10)=\dfrac{23!}{13!}.
Multiplicando:
\text{sequências com ambos }A\text{ e }B = P(12,2)\cdot P(23,10) = (12\cdot 11)\cdot \frac{23!}{13!}.ê

Passo 4

Pelo princípio do complemento, o número desejado é
\text{válidos} = P(25,12) - P(12,2)\cdot P(23,10).á
Substituindo as fórmulas em termos fatoriais e fatorando \dfrac{23!}{13!}:
P(25,12)=\frac{25!}{13!}=25\cdot 24\cdot \frac{23!}{13!},
portanto
\text{válidos} = \frac{23!}{13!}\bigl(25\cdot 24 - 12\cdot 11\bigr).á
Calcule 25\cdot 24=600 e 12\cdot 11=132, então 600-132=468. Assim
\text{válidos}=468\cdot \frac{23!}{13!}.á

Passo 5

Vamos calcular numericamente \dfrac{23!}{13!}, que é o produto dos inteiros de 14 a 23:
\frac{23!}{13!}=14\cdot 15\cdot 16\cdot 17\cdot 18\cdot 19\cdot 20\cdot 21\cdot 22\cdot 23.
Calculando passo a passo:
14\cdot 15=210,
210\cdot 16=3\,360,
3\,360\cdot 17=57\,120,
57\,120\cdot 18=1\,028\,160,
1\,028\,160\cdot 19=19\,535\,040,
19\,535\,040\cdot 20=390\,700\,800,
390\,700\,800\cdot 21=8\,204\,716\,800,
8\,204\,716\,800\cdot 22=180\,503\,769\,600,
180\,503\,769\,600\cdot 23=4\,151\,586\,700\,800.
Portanto
\frac{23!}{13!}=4\,151\,586\,700\,800.
Agora multiplicamos por 468:
468\cdot 4\,151\,586\,700\,800 = 1\,942\,942\,575\,974\,400.
Verificação alternativa rápida: P(25,12)=25\cdot 24\cdot \dfrac{23!}{13!}=600\cdot 4\,151\,586\,700\,800=2\,490\,952\,020\,480\,000.
Sequências com ambos A e B são 132\cdot 4\,151\,586\,700\,800=548\,009\,444\,505\,600. Subtraindo: 2\,490\,952\,020\,480\,000-548\,009\,444\,505\,600=1\,942\,942\,575\,974\,400, coincide com o valor acima.

Resposta

\displaystyle 1\,942\,942\,575\,974\,400

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