Uma livraria vai montar um clube do livro e precisa escolher um livro para cada um dos próximos 12 meses. Há 25 livros no catálogo. 10 são nacionais e 15 internacionais. Quantos roteiros livro-mês podem ser criados se:
o livro Queijos brasileiros à mesa com cachaça, vinho e cerveja (nacional) e o livro É possível viver sem queijo (nacional) não podem ser incluídos juntos no roteiro?
o livro Queijos brasileiros à mesa com cachaça, vinho e cerveja (nacional) e o livro É possível viver sem queijo (nacional) não podem ser incluídos juntos no roteiro?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma contagem:
- Há
livros no catálogo. - Desses,
são nacionais e são internacionais. - A livraria vai escolher um livro para cada um dos próximos
meses (ou seja, vamos formar uma sequência ordenada de livros, um por mês). - Dois livros nacionais específicos (vou chamar de
= “Queijos brasileiros à mesa…” e = “É possível viver sem queijo”) não podem aparecer juntos no roteiro: ou aparecem nenhum, ou aparece apenas um deles, mas não os dois ao mesmo tempo.
Pergunta: Quantos roteiros (sequências de
livros distintos, um por mês) podem ser criados respeitando a proibição de incluir
e
juntos?
Passo 2
Vamos contar primeiro todas as sequências possíveis sem restrição (ou seja, escolher e ordenar
livros distintos dentre
). A escolha é uma permutação de
elementos tomados
a
.
- Fórmula: a permutação de
elementos tomados a é
Aqui
e
, então
Motivação didática: pensamos mês a mês. Para o primeiro mês temos
opções, para o segundo
(não repetimos), e assim até o décimo segundo mês com
opções, multiplicando todos esses números.
Passo 3
Agora contamos quantas sequências violam a restrição (isto é, contêm ambos
e
). Vamos subtrair essas da contagem total (princípio do complemento).
Para que ambos apareçam numa sequência de
meses:
- Escolhemos em quais posições aparecem
e . Isso é uma permutação de posições entre , ou seja (equivalente a escolher 2 posições ordenadas, já que e são distintos). - Nos
meses restantes, escolhemos e ordenamos livros distintos dentre os outros livros (os menos e ). Isso é .
Multiplicando:
Passo 4
Pelo princípio do complemento, o número desejado é
Substituindo as fórmulas em termos fatoriais e fatorando
:
portanto
Calcule
e
, então
. Assim
Passo 5
Vamos calcular numericamente
, que é o produto dos inteiros de
a
:
Calculando passo a passo:
Portanto
Agora multiplicamos por
:
Verificação alternativa rápida:
.
Sequências com ambos e
são
. Subtraindo:
, coincide com o valor acima.
Sequências com ambos