O livre caminho médio em uma amostra de hélio gasoso a 1 atm e 15^circ C é de 1,862 times 10^-5 cm. Nessas condições: (a) Encontre o diâmetro efetivo de um átomo de hélio. (b) Estime o número médio de colisões por segundo que um átomo de hélio sofre nessas condições. © Calcule a velocidade quadrática média do He. (d) Estime a separação média entre os átomos. A aproximação de gás ideal é razoável nesse caso? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado tá falando de cinética dos gases: quer saber, pra um gás de hélio a 1 atm e 15 °C, (a) o “diâmetro” efetivo do átomo, (b) quantas colisões por segundo cada átomo faz em média, © a velocidade quadrática média e (d) a separação média entre átomos – e se, nessas condições, a aproximação de gás ideal faz sentido.
O que vamos precisar:
  1. A lei dos gases ideais para achar a densidade numérica .
  2. A fórmula do caminho livre médio
    ,
    com .
  3. As velocidades médias de Maxwell:
  • velocidade média (pra frequência de colisões)
  • velocidade quadrática média .
  1. A ideia de que cada átomo “ocupa”, em média, um volume , então a separação típica é .

Passo 2

Primeiro, a densidade numérica n = pkT = 1,013times10^51,38times10^-23times288 approx 2,55times10^25 m^-3 .
Pressão: .
Temperatura: .
Constante de Boltzmann: .
Então

Passo 3

(a) Diâmetro efetivo lambda = 1,862times10^-5,cm = 1,862times10^-7,m, .
Sabemos
d = raiz1raiz2,n,pi,lambda = raiz1raiz2,(2,55times10^25),pi,(1,862times10^-7) approx 2,18times10^-10,m = 2,18times10^-8,cm
e .
Isolando :

Passo 4

(b) Número médio de colisões por segundo.
A frequência de colisões é aproximadamente bar v = raiz8kTpi m , onde
m = 4,00times10^-3,kg/mol6,022times10^23 approx 6,646times10^-27,kg
Massa de um átomo de He:
bar v = raiz8,(1,38times10^-23),(288)pi,(6,646times10^-27) approx 1,23times10^3 m/s
Então
z = bar vlambda = 1,23times10^31,862times10^-7 approx 6,6times10^9 s^-1
E a frequência

Passo 5

© Velocidade quadrática média vrm rms = raiz3kTm = raiz3,(1,38times10^-23),(288)6,646times10^-27 approx 1,34times10^3 m/s .

Passo 6

(d) Separação média entre átomos.
Cada átomo “ocupa” volume ell = l(tfrac1nr)^1/3 = (2,55times10^25)^-1/3,m approx 3,4times10^-9,m = 3,4times10^-7,cm , então
Comparando com o diâmetro , dá uma razão ~15 vezes maior. Ou seja, os átomos estão bem separadinhos. Portanto a aproximação de gás ideal é totalmente razoável: as interações de curto alcance são raras comparadas ao espaço livre.

Resposta

(a)
(b)
©
(d) . Sim, o gás ideal é razoável (separação muito maior que o diâmetro).

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