Em um livro de 200 páginas, Ana escreveu uma mensagem de amizade. A amiga de Ana teria que fechar os olhos e abrir aleatoriamente em uma página para localizar a mensagem. Sabe-se que, ao abrir um livro em uma página, é possivel observar duas. Nessas condiçōes, qual é a probabilidade da amiga de Ana localizar a mensagem realizando 20 tentativas aleatórias?

Passo 1

Dados do enunciado:
  • O livro tem 200 páginas.
  • Ana escreveu uma mensagem em exatamente uma página (ou seja, a mensagem ocupa uma única página desconhecida entre as 200).
  • Ao abrir o livro, é possível observar duas páginas por vez.
  • A amiga vai abrir o livro aleatoriamente 20 vezes (ou seja, realiza 20 tentativas aleatórias).
    Pergunta do enunciado:
  • Qual é a probabilidade de a amiga localizar a mensagem realizando essas 20 tentativas aleatórias?

Passo 2

Entender quantas “aberturas” distintas existem e a chance de sucesso em uma tentativa:
  • Cada abertura mostra duas páginas. Como há 200 páginas, o número de aberturas possíveis (pares de páginas) é \dfrac{200}{2} = 100.
  • Outra forma de ver: em uma abertura são visíveis 2 das 200 páginas; se a página com a mensagem é escolhida uniformemente, a probabilidade de ela estar visível numa abertura aleatória é \dfrac{2}{200}.
  • Portanto, a probabilidade de sucesso numa única tentativa é
\frac{2}{200}=\frac{1}{100}.

Passo 3

Modelagem das 20 tentativas:
  • Vamos assumir que cada tentativa é feita aleatoriamente e de forma independente (ou seja, cada abertura é “embaralhada” e pode repetir aberturas anteriores). Essa é a interpretação padrão quando se diz “tentativas aleatórias” sem informações sobre evitar repetições.
  • Com independência, podemos usar a regra do produto para probabilidades de eventos consecutivos.

Passo 4

Probabilidade de falhar numa tentativa:
  • Se a probabilidade de sucesso em uma tentativa é \dfrac{1}{100}, a probabilidade de não encontrar a mensagem nessa mesma tentativa é
1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}.

Passo 5

Probabilidade de falhar em todas as 20 tentativas:
  • Como as tentativas são independentes, a probabilidade de falhar em todas as 20 é o produto das probabilidades de falha de cada tentativa:
\left(\frac{99}{100}\right)^{20}.

Passo 6

Probabilidade de sucesso em pelo menos uma das 20 tentativas:
  • É mais simples usar o complemento: a probabilidade de localizar a mensagem em pelo menos uma tentativa é
1-\left(\frac{99}{100}\right)^{20}.
  • Esse é o resultado exato. Para ter uma ideia numérica, calculamos uma aproximação. Usando (0,99)^{20}\approx 0,818730753, obtemos
1-(0,99)^{20}\approx 0,181269247.
  • Em porcentagem, isso corresponde a aproximadamente 18,13\%.

Resposta

1-\left(\frac{99}{100}\right)^{20}\approx 0,181269247\\ (\text{aprox. }18,13\%)

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