Em um livro de 200 páginas, Ana escreveu uma mensagem de amizade. A amiga de Ana teria que fechar os olhos e abrir aleatoriamente em uma página para localizar a mensagem. Sabe-se que, ao abrir um livro em uma página, é possivel observar duas. Nessas condiçōes, qual é a probabilidade da amiga de Ana localizar a mensagem realizando 20 tentativas aleatórias?
Passo 1
Dados do enunciado:
- O livro tem
páginas. - Ana escreveu uma mensagem em exatamente uma página (ou seja, a mensagem ocupa uma única página desconhecida entre as
). - Ao abrir o livro, é possível observar duas páginas por vez.
- A amiga vai abrir o livro aleatoriamente
vezes (ou seja, realiza tentativas aleatórias).
Pergunta do enunciado: - Qual é a probabilidade de a amiga localizar a mensagem realizando essas
tentativas aleatórias?
Passo 2
Entender quantas “aberturas” distintas existem e a chance de sucesso em uma tentativa:
- Cada abertura mostra duas páginas. Como há
páginas, o número de aberturas possíveis (pares de páginas) é . - Outra forma de ver: em uma abertura são visíveis
das páginas; se a página com a mensagem é escolhida uniformemente, a probabilidade de ela estar visível numa abertura aleatória é . - Portanto, a probabilidade de sucesso numa única tentativa é
Passo 3
Modelagem das
tentativas:
- Vamos assumir que cada tentativa é feita aleatoriamente e de forma independente (ou seja, cada abertura é “embaralhada” e pode repetir aberturas anteriores). Essa é a interpretação padrão quando se diz “tentativas aleatórias” sem informações sobre evitar repetições.
- Com independência, podemos usar a regra do produto para probabilidades de eventos consecutivos.
Passo 4
Probabilidade de falhar numa tentativa:
- Se a probabilidade de sucesso em uma tentativa é
, a probabilidade de não encontrar a mensagem nessa mesma tentativa é
Passo 5
Probabilidade de falhar em todas as
tentativas:
- Como as tentativas são independentes, a probabilidade de falhar em todas as
é o produto das probabilidades de falha de cada tentativa:
Passo 6
Probabilidade de sucesso em pelo menos uma das
tentativas:
- É mais simples usar o complemento: a probabilidade de localizar a mensagem em pelo menos uma tentativa é
- Esse é o resultado exato. Para ter uma ideia numérica, calculamos uma aproximação. Usando
, obtemos
- Em porcentagem, isso corresponde a aproximadamente
.