Sejam A e B eventos de um espaço amostral. Mostre que, se A é independente de B, então A^{c} é independente de B^{c}. (Dica: utilize De Morgan).

Passo 1

O enunciado dá dois eventos do espaço amostral, A e B, e afirma que A é independente de B. Preciso mostrar que os complementos A^{c} e B^{c} também são independentes.
Informações dadas:
  • A e B são eventos.
  • A é independente de B, isto é,
P(A\cap B)=P(A)\,P(B).
O que pedir: demonstrar que
P(A^{c}\cap B^{c})=P(A^{c})\,P(B^{c}).

Passo 2

Lembretes e identidades básicas que vamos usar (explicadas com calma):
  • Complemento: A^{c} é o evento "não A". Sempre vale
P(A^{c})=1-P(A),
desde que P seja uma probabilidade no espaço amostral. Isso faz sentido porque ou A ocorre ou A^{c} ocorre, e as probabilidades somam 1.
  • Fórmula da união: para dois eventos A e B,
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Explicação rápida: somando P(A)+P(B) contamos duas vezes a interseção, por isso subtrai-se P(A\cap B).
  • Leis de De Morgan: as relações entre complementos, união e interseção são
(A\cap B)^{c}=A^{c}\cup B^{c}\quad\text{e}\quad (A\cup B)^{c}=A^{c}\cap B^{c}.
Vamos usar a segunda no nosso problema. Essas leis são intuitivas: “não (A ou B)” é o mesmo que “não A e não B”.

Passo 3

Aplicando De Morgan para escrever a interseção dos complementos como complemento da união:
A^{c}\cap B^{c}=(A\cup B)^{c}.
Agora uso a propriedade do complemento em probabilidade para transformar isso em probabilidades:
P(A^{c}\cap B^{c})=P\big((A\cup B)^{c}\big)=1-P(A\cup B).
Expliquei por que posso trocar o evento pelo seu complementar: a probabilidade do complementar é 1 menos a probabilidade do evento.

Passo 4

Agora uso a fórmula da união para P(A\cup B):
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Substituo essa expressão na igualdade do passo anterior:
P(A^{c}\cap B^{c})=1-\big(P(A)+P(B)-P(A\cap B)\big).
Até aqui só usei identidades gerais de probabilidade.

Passo 5

Como o enunciado me deu independência de A e B, posso substituir P(A\cap B) por P(A)P(B). Fazendo isso:
P(A^{c}\cap B^{c})=1-\big(P(A)+P(B)-P(A)P(B)\big).
Agora faço a álgebra passo a passo: primeiro distribuo o sinal negativo,
P(A^{c}\cap B^{c})=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B).

Passo 6

Reorganizo e fatoro a expressão para ver o produto dos complementos aparecer:
1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)=(1-P(A))(1-P(B)).
Explicação da fatoração: multiplico os dois termos do produto (1-P(A))(1-P(B)) e verifico que dá exatamente 1-P(A)-P(B)+P(A)P(B). Agora uso que 1-P(A)=P(A^{c}) e 1-P(B)=P(B^{c}). Portanto
P(A^{c}\cap B^{c})=P(A^{c})\,P(B^{c}).
Isso é exatamente a definição de independência entre A^{c} e B^{c}.

Passo 7

Um exemplo numérico rápido (para ver que funciona): suponha P(A)=0,3 e P(B)=0,4 e que A e B são independentes. Então P(A\cap B)=0,12. Temos
P(A\cup B)=0,3+0,4-0,12=0,58,
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P(A^{c}\cap B^{c})=1-0,58=0,42.
Por outro lado P(A^{c})=0,7 e P(B^{c})=0,6, e o produto é 0,7\cdot 0,6=0,42. Confere com a prova.

Resposta

P(A^{c}\cap B^{c})=P(A^{c})\,P(B^{c}).

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