Sejam
e
eventos de um espaço amostral. Mostre que, se
é independente de
, então
é independente de
. (Dica: utilize De Morgan).
Passo 1
O enunciado dá dois eventos do espaço amostral,
e
, e afirma que
é independente de
. Preciso mostrar que os complementos
e
também são independentes.
Informações dadas:
Informações dadas:
-
e são eventos. -
é independente de , isto é,
O que pedir: demonstrar que
Passo 2
Lembretes e identidades básicas que vamos usar (explicadas com calma):
- Complemento:
é o evento "não ". Sempre vale
desde que
seja uma probabilidade no espaço amostral. Isso faz sentido porque ou
ocorre ou
ocorre, e as probabilidades somam
.
- Fórmula da união: para dois eventos
e ,
Explicação rápida: somando
contamos duas vezes a interseção, por isso subtrai-se
.
- Leis de De Morgan: as relações entre complementos, união e interseção são
Vamos usar a segunda no nosso problema. Essas leis são intuitivas: “não (A ou B)” é o mesmo que “não A e não B”.
Passo 3
Aplicando De Morgan para escrever a interseção dos complementos como complemento da união:
Agora uso a propriedade do complemento em probabilidade para transformar isso em probabilidades:
Expliquei por que posso trocar o evento pelo seu complementar: a probabilidade do complementar é
menos a probabilidade do evento.
Passo 4
Agora uso a fórmula da união para
:
Substituo essa expressão na igualdade do passo anterior:
Até aqui só usei identidades gerais de probabilidade.
Passo 5
Como o enunciado me deu independência de
e
, posso substituir
por
. Fazendo isso:
Agora faço a álgebra passo a passo: primeiro distribuo o sinal negativo,
Passo 6
Reorganizo e fatoro a expressão para ver o produto dos complementos aparecer:
Explicação da fatoração: multiplico os dois termos do produto
e verifico que dá exatamente
. Agora uso que
e
. Portanto
Isso é exatamente a definição de independência entre
e
.
Passo 7
Um exemplo numérico rápido (para ver que funciona): suponha
e
e que
e
são independentes. Então
. Temos
logo
Por outro lado
e
, e o produto é
. Confere com a prova.