Livro: Cálculo Vol. II, James Stewart, 9a. Edição: Seção 11.8 (Séries de Potência): 23
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=1^infty (-1)^nn 4^n x^n

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty (-1)^nn 4^n x^n. O conteúdo principal é séries de potências e vamos precisar do teste da razão para achar o raio e depois testar os extremos do intervalo.

Passo 2

Seja an = (-1)^nn4^nx^n. Aplicando o teste da razão, calculamos L = limntoinfty |an+1an|:
|an+1an| = |(-1)^n+1(n+1)4^n+1x^n+1 cdot n4^n(-1)^n x^n| = nn+1cdot|x|4
Agora,
L = limntoinftynn+1cdot|x|4 = |x|4
Pelo teste da razão, a série converge se L<1, ou seja |x|<4. Logo, o raio de convergência é R=4, e a convergência absoluta ocorre para -4.

Passo 3

Precisamos agora testar os extremos: Para x=4, a série fica
sumn=1^infty (-1)^nn4^n4^n = sumn=1^infty (-1)^nn,
que é a série harmônica alternada. Pelo teste da série alternada de Leibniz, ela converge.

Passo 4

Para x=-4, a série fica
sumn=1^infty (-1)^nn4^n(-4)^n = sumn=1^infty 1n,
que é a série harmônica pura e diverge. Portanto, incluindo os extremos, o intervalo de convergência é (-4,4].

Resposta

Raio de convergência: R = 4; Intervalo de convergência: -4 < x \le 4.

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