Livro: Cálculo Vol. II, James Stewart, 9a. Edição: Seção 11.8 (Séries de Potência):
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências . O conteúdo principal é séries de potências e vamos precisar do teste da razão para achar o raio e depois testar os extremos do intervalo.
Pelo teste da razão, a série converge se L<1, ou seja |x|<4. Logo, o raio de convergência é R=4, e a convergência absoluta ocorre para -4.
Passo 3
Precisamos agora testar os extremos: Para x=4, a série fica
sumn=1^infty (-1)^nn4^n4^n = sumn=1^infty (-1)^nn,
que é a série harmônica alternada. Pelo teste da série alternada de Leibniz, ela converge.
Passo 4
Para x=-4, a série fica
sumn=1^infty (-1)^nn4^n(-4)^n = sumn=1^infty 1n,
que é a série harmônica pura e diverge. Portanto, incluindo os extremos, o intervalo de convergência é (-4,4].
Resposta
Raio de convergência: R = 4; Intervalo de convergência: -4 < x \le 4.