Teste a convergência ou divergência das séries.
sumn=1^infty raizn^3+13 n^3+4 n^2+2

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série sumn=1^infty raizn^3+13 n^3+4 n^2+2. O conteúdo principal é séries numéricas e vamos usar o critério de comparação pelo limite, além de reconhecer séries do tipo p-série.

Passo 2

Para entender o comportamento de an = raizn^3+13 n^3+4 n^2+2 quando n é grande, note que
raizn^3+1 = n^3/2raiz1 + tfrac1n^3 sim n^3/2, 3 n^3 + 4 n^2 + 2 sim 3 n^3

Passo 3

Isso mostra que assintoticamente
an = raizn^3+13 n^3+4 n^2+2 sim n^3/23n^3 = 13 n^-3/2

Passo 4

Definimos bn = n^-3/2. Sabemos que sum bn = sum 1n^3/2 é uma p-série com p=3/2>1, logo converge.

Passo 5

Aplicando o critério de comparação pelo limite, calculamos
limntoinfty anbn = limntoinfty raizn^3+1/(3 n^3+4 n^2+2)n^-3/2 = 13

Passo 6

Como esse limite é um número finito e positivo, a série original converge se, e somente se, sum bn converge. Já vimos que sum bn converge, portanto a série dada também converge.

Resposta

A série converge por comparação pelo limite com a p-série de expoente 3/2.

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