Expresse a dízima periódica decimal como uma fração ordinária.
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Passo 1
O enunciado pede para transformar a dízima periódica decimal 2,3171717… em uma fração ordinária. O conteúdo envolve a técnica de dízima periódica, em que a gente separa a parte não periódica da periódica e usa equações para eliminar a repetição.
Passo 2
Vamos chamar o número de interesse de x e identificar as partes não periódica e periódica. Assim, definimos
aqui a parte não periódica tem 1 casa decimal (o algarismo 3) e a parte periódica é o bloco “17” com 2 dígitos.
Passo 3
Para eliminar primeiro a parte não periódica, multiplicamos por 10 (que é
):
Passo 4
Em seguida, multiplicamos essa mesma expressão original por 10^{1+2}=1000 (para alinhar um ciclo inteiro do bloco periódico):
Passo 5
Agora subtraímos a segunda equação da primeira para anular a parte repetitiva:
isso dá
Logo,
Por fim, simplificamos dividindo numerador e denominador por 2: