O volume de metano adsorvido em 1 g de carvão ativo a 0^{\circ} \mathrm{C} e a várias pressões é:
\mathbf{P} / \mathbf{m m H g} 100 200 300 400
\mathbf{V} / \mathbf{c m}^{\mathbf{3}} 9,75 14,5 18,2 21,4
Utilizando o modelo de Freundlich, calcule as suas constantes.

Passo 1

O enunciado fornece o volume de metano adsorvido em 1\\ \mathrm{g} de carvão ativo a 0^{\circ}\mathrm{C} para quatro pressões e pede que calculemos as constantes do modelo de Freundlich. Pergunta-se, portanto, quais são as constantes K e n do isoterma de Freundlich.
Dados fornecidos (retirei-os da tabela do enunciado):
\begin{aligned} &P=100\\ \mathrm{mmHg},\quad V=9{,}75\\ \mathrm{cm}^3,\\\ &P=200\\ \mathrm{mmHg},\quad V=14{,}5\\ \mathrm{cm}^3,\\\ &P=300\\ \mathrm{mmHg},\quad V=18{,}2\\ \mathrm{cm}^3,\\\ &P=400\\ \mathrm{mmHg},\quad V=21{,}4\\ \mathrm{cm}^3. \end{aligned}

Passo 2

Apresento o modelo de Freundlich e a estratégia para obter K e n.
O modelo de Freundlich é
V = K\,P^{1/n},
onde:
  • V é o volume adsorvido (aqui em \mathrm{cm}^3 por grama),
  • P é a pressão (aqui em \mathrm{mmHg}),
  • K é a constante de capacidade (unidades: \mathrm{cm}^3/\mathrm{mmHg}^{1/n}),
  • n é o expoente que mede a não linearidade da isoterma.
Para estimar K e n linearizamos aplicando logaritmo natural em ambos os lados:
\ln V = \ln K + \frac{1}{n}\,\ln P.
Se definirmos \;x=\ln P\; e \;y=\ln V\;, obtemos a equação de uma reta:
y = A + Bx,
com A=\ln K e B=\dfrac{1}{n}.
Vamos estimar A e B pelo método dos mínimos quadrados (regressão linear). As fórmulas usadas são:
B = \frac{\sum_{i=1}^N (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^N (x_i-\bar{x})^2}, \qquad A = \bar{y} - B\bar{x},
onde \bar{x} e \bar{y} são as médias de x_i e y_i, e N=4 é o número de pontos. Depois obtemos
\frac{1}{n}=B,\qquad K=e^{A}.

Passo 3

Calculo \ln P e \ln V para cada ponto (usei logaritmo natural):
\begin{aligned} &\ln(100)=4{,}6051701860,\quad &&\ln(9{,}75)=2{,}2772660720,\\\ &\ln(200)=5{,}2983173665,\quad &&\ln(14{,}5)=2{,}6741486490,\\\ &\ln(300)=5{,}7037824747,\quad &&\ln(18{,}2)=2{,}9021255880,\\\ &\ln(400)=5{,}9914645471,\quad &&\ln(21{,}4)=3{,}0639391210. \end{aligned}
Para facilitar a leitura, chamo x_i=\ln P_i e y_i=\ln V_i com os valores acima.

Passo 4

Calculo as médias \bar{x} e \bar{y}:
\bar{x}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4 x_i =\frac{4{,}6051701860+5{,}2983173665+5{,}7037824747+5{,}9914645471}{4} =5{,}3996836436,
\bar{y}=\frac{1}{4}\sum_{i=1}^4 y_i =\frac{2{,}2772660720+2{,}6741486490+2{,}9021255880+3{,}0639391210}{4} =2{,}7293698575.

Passo 5

Calculo os desvios (x_i-\bar{x}), (y_i-\bar{y}) e seus produtos (cada valor apresentado com ~6 casas significativas):
\begin{aligned} x_1-\bar{x}&=4{,}6051701860-5{,}3996836436=-0{,}7945134576,\\\ y_1-\bar{y}&=2{,}2772660720-2{,}7293698575=-0{,}4521037855,\\\ (x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})&\approx 0{,}359201.\\[6pt] x_2-\bar{x}&=5{,}2983173665-5{,}3996836436=-0{,}1013662771,\\\ y_2-\bar{y}&=2{,}6741486490-2{,}7293698575=-0{,}0552212085,\\\ (x_2-\bar{x})(y_2-\bar{y})&\approx 0{,}005593.\\[6pt] x_3-\bar{x}&=5{,}7037824747-5{,}3996836436=0{,}3040988311,\\\ y_3-\bar{y}&=2{,}9021255880-2{,}7293698575=0{,}1727557305,\\\ (x_3-\bar{x})(y_3-\bar{y})&\approx 0{,}052536.\\[6pt] x_4-\bar{x}&=5{,}9914645471-5{,}3996836436=0{,}5917809035,\\\ y_4-\bar{y}&=3{,}0639391210-2{,}7293698575=0{,}3345692635,\\\ (x_4-\bar{x})(y_4-\bar{y})&\approx 0{,}197994. \end{aligned}
Agora somo os produtos e os quadrados dos desvios em x:
\sum_{i=1}^4 (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) \approx 0{,}359201+0{,}005593+0{,}052536+0{,}197994 = 0{,}615324,
\sum_{i=1}^4 (x_i-\bar{x})^2 \approx 0{,}631237+0{,}010274+0{,}092475+0{,}350202 = 1{,}084188.
(Os valores foram arredondados nas operações; mantenho precisão suficiente para o ajuste.)]

Passo 6

Calculo o coeficiente angular B e o intercepto A:
B=\frac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x})^2} \approx \frac{0{,}615324}{1{,}084188}=0{,}5676.
Logo,
\frac{1}{n}=B\approx 0{,}5676 \quad\Rightarrow\quad n\approx \frac{1}{0{,}5676}=1{,}7619\approx 1{,}762.
O intercepto:
A=\bar{y}-B\bar{x}\approx 2{,}7293698575 - 0{,}5676\cdot 5{,}3996836436 \approx -0{,}336015.
Como A=\ln K, temos
K=e^{A}\approx e^{-0{,}336015}\approx 0{,}715.
Portanto os parâmetros estimados (arredondados) são
K \approx 0{,}715,\qquad n \approx 1{,}762.

Resposta

K \approx 0{,}715
n \approx 1{,}762

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