Mediu-se a pressão de uma gás adsorvido em função da temperatura e o resultado está mostrado na Tabela abaixo:
\mathbf{T} / \mathbf{K} 200 210 220 230 240 250
\mathbf{p} / \mathbf{P a} 4000 4950 6030 7200 8470 9850
Calcule o valor da Entalpia de Adsorção ( \Delta_{\text {ads }} \mathrm{H}^{\circ} ).

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com temperaturas e pressões de equilíbrio do gás adsorvido e pede a entalpia de adsorção padrão \Delta_{\text{ads}} H^{\circ}. Os dados fornecidos são:
\begin{array}{c|cccccc} T\;(\text{K}) & 200 & 210 & 220 & 230 & 240 & 250\\hline p\;(\text{Pa}) & 4000 & 4950 & 6030 & 7200 & 8470 & 9850 \end{array}
O que precisamos calcular é o valor de \Delta_{\text{ads}} H^{\circ} (entalpia da reação \text{gás} \to \text{adsorvido}á) a partir desses pontos de equilíbrio.

Passo 2

Vamos usar a forma do tipo Clausius–Clapeyron/van’t Hoff apropriada para equilíbrio gás ↔ adsorvido. A relação que conecta pressão de equilíbrio e temperatura, para um nível de cobertura fixo, é
\frac{d\ln p}{d(1/T)} = -\frac{\Delta H_{\text{trans}}}{R},
onde R é a constante dos gases perfeitos ( R=8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}) e \Delta H_{\text{trans}} é a entalpia da transição considerada (aquele que aparece na equação). Devemos tomar cuidado com a convenção de sinais: a entalpia de adsorção que o enunciado pede é a entalpia da reação \text{gás} \to \text{adsorvido}á, que chamaremos de \Delta_{\text{ads}} H^{\circ}. A relação entre \Delta H_{\text{trans}} e \Delta_{\text{ads}} H^{\circ} é
\Delta H_{\text{trans}} = H_{\text{gás}} - H_{\text{ads}} = -\Delta_{\text{ads}} H^{\circ}.á
Substituindo, obtemos a forma prática que usaremos:
\frac{d\ln p}{d(1/T)} = \frac{\Delta_{\text{ads}} H^{\circ}}{R}.
Logo, se definirmos a inclinação m da reta \ln p versus 1/T por m=\dfrac{d\ln p}{d(1/T)}, então
\Delta_{\text{ads}} H^{\circ} = R \, m.
Observação física de sinal: para adsorção exoterma esperamos \Delta_{\text{ads}} H^{\circ}<0. Se a inclinação m for negativa (como costuma ocorrer nos dados), o resultado será negativo, coerente com adsorção exotérmica.

Passo 3

Calculo os valores de 1/T a partir da tabela (mostrando que peguei T da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccc} T\;(\text{K}) & 200 & 210 & 220 & 230 & 240 & 250\\hline 1/T\;(\text{K}^{-1}) & 0{,}005000 & 0{,}00476190 & 0{,}00454545 & 0{,}00434783 & 0{,}00416667 & 0{,}00400000 \end{array}
(estes valores vieram diretamente do T da tabela: 1/200=0{,}005, 1/210\approx0{,}00476190 etc.)

Passo 4

Calculo agora os logaritmos naturais das pressões p (peguei p da tabela):
\begin{array}{c|cccccc} p\;(\text{Pa}) & 4000 & 4950 & 6030 & 7200 & 8470 & 9850\\hline \ln p & 8{,}294049 & 8{,}507143 & 8{,}704502 & 8{,}881828 & 9{,}044343 & 9{,}195227 \end{array}
Expliquei: calculei \ln p para cada pressão dada (por exemplo \ln 4000\approx8{,}294049, \ln 9850\approx9{,}195227).

Passo 5

Para obter a inclinação m da reta \ln p versus 1/T uso a forma simples com dois pontos extremos (método direto e fácil para prova). Tomando os extremos T_1=200\\ \text{K} e T_2=250\\ \text{K},
m=\frac{\ln p_2-\ln p_1}{(1/T_2)-(1/T_1)}.
Substituindo os números (usei os \ln p calculados nos passos anteriores e os 1/T do Passo 3):
m=\frac{9{,}195227-8{,}294049}{0{,}00400000-0{,}005000}=\frac{0{,}901178}{-0{,}001000}=-901{,}178\\ \text{(unidade: K)}.
Comentário: esse é o coeficiente angular da reta \ln p vs 1/T. Dá negativo, como era esperado para este equilíbrio.

Passo 6

Agora aplico a fórmula que relaciona a inclinação com a entalpia de adsorção (do Passo 2):
\Delta_{\text{ads}} H^{\circ} = R\, m.
Substituindo R=8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}} e m=-901{,}178:
\Delta_{\text{ads}} H^{\circ} = 8{,}314 \times (-901{,}178)\\ \mathrm{J\;mol^{-1}} \approx -7{,}49\times 10^{3}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
Convertendo para kJ·mol ^{-1}:
\Delta_{\text{ads}} H^{\circ} \approx -7{,}49\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}.
Pequena observação de verificação: poderia também fazer um ajuste linear por mínimos quadrados com todos os pontos; isso dá praticamente o mesmo valor (diferença de poucos joules), então o método com extremos é adequado e rápido para prova.

Resposta

\Delta_{\text{ads}} H^{\circ} \approx -7{,}49\\ \mathrm{kJ\;mol^{-1}}

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