Livro: Teoria da Relatividade Especial, 2^a Edição (R Grazielli), Capítulo 2, página 38, questão 2.6, resolva utilizando a TL.
Foguetes interplanetários atingem a velocidade máxima de aproximadamente 240 mil km / h. imaginem que um astronauta está em uma estação espacial quando um foguete passa a essa velocidade. Quanto tempo atrasará o relógio do foguete, em relação ao da estação, num ano terrestre?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um foguete que viaja a uma velocidade de aproximadamente 240,000 , km/h e passa por uma estação espacial onde um astronauta está. A pergunta é: quanto tempo o relógio do foguete vai atrasar em relação ao relógio da estação durante um ano terrestre? Para resolver isso, vamos usar a Teoria da Relatividade Especial de Einstein, mais especificamente o conceito de dilatação do tempo.

Passo 2

Primeiro, precisamos converter a velocidade do foguete para metros por segundo ( m/s). Sabemos que:
1 , km = 1000 , m e 1 , h = 3600 , s
Então:
240,000 , km/h times 1000 , m1 , km times 1 , h3600 , s = 66,666,7 , m/s

Passo 3

Agora, vamos calcular a fator de dilatação do tempo, que é dado por:
gamma = 1raiz1 - ( vc )^2
onde:
  • v é a velocidade do foguete ( 66,666,7 , m/s)
  • c é a velocidade da luz ( 299,792,458 , m/s)
Vamos calcular vc:
66,666,7299,792,458 approx 2,222 times 10^-4

Passo 4

Como vc é muito pequeno, podemos simplificar o cálculo da gamma usando a aproximação:
gamma approx 1 + 12 ( vc )^2
Então:
gamma approx 1 + 12 times (2,222 times 10^-4)^2
gamma approx 1 + 12 times 4,938 times 10^-8
gamma approx 1 + 2,469 times 10^-8
gamma approx 1,00000002469

Passo 5

O tempo próprio ( De) vivido pelo astronauta no foguete é relacionado ao tempo na estação ( De) por:
De
Queremos saber quanto o relógio do foguete atrasou, ou seja, a diferença De:
De
Como gamma approx 1 + epsilon, onde epsilon é muito pequeno, podemos aproximar:
1 - 1gamma approx 12 ( vc )^2

Passo 6

Vamos calcular o tempo total de um ano terrestre em segundos:
1 , ano approx 365,25 , dias times 24 , h/dia times 3600 , s/h approx 31,557,600 , s
Agora, a diferença de tempo:
De
De
De
De

Resposta

O relógio do foguete atrasará aproximadamente 0,78 segundos em relação ao da estação espacial durante um ano terrestre.

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