Livro: Teoria da Relatividade Especial,
Edição (R Grazielli), Capítulo 3, página 58, questão 3.2.
Um observado numa plataforma espacial, cujo comprimento próprio é de 100 mede a velocidade de uma nave que passa por ele e acha
. Por meio e um arranjo experimental que permite mediar as posições das extremidades da nave, simultaneamente, determina 60 m de comprimento dela. Qual é o comprimento da nave em repouso?
Um observado numa plataforma espacial, cujo comprimento próprio é de 100 mede a velocidade de uma nave que passa por ele e acha
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando nessa questão. Temos um observador numa plataforma espacial que tem um comprimento próprio de 100 metros. Esse observador mede a velocidade de uma nave que passa por ele e descobre que a velocidade da nave é de
(onde $ \mathrm{c} $ é a velocidade da luz). Usando um arranjo experimental que permite medir simultaneamente as posições das extremidades da nave, o observador determina que o comprimento da nave é de 60 metros. Nossa missão aqui é descobrir qual é o comprimento da nave quando ela está em repouso, ou seja, sem se mover.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o conceito de contração do comprimento na Teoria da Relatividade Especial. De acordo com essa teoria, quando um objeto se move em alta velocidade em relação a um observador, o comprimento medido pelo observador parece menor do que o comprimento próprio do objeto (que é o comprimento quando o objeto está em repouso).
A fórmula que relaciona o comprimento observado ($ L
L_0 $) é:
Onde:
- $ L $ é o comprimento observado
- $ L_0 $ é o comprimento próprio
- $ v $ é a velocidade do objeto
- $ c $ é a velocidade da luz
Passo 3
Nosso objetivo é encontrar o comprimento próprio da nave ($ L_0 $). Vamos reorganizar a fórmula para resolver $ L_0 $:
Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula:
- $ L = 60 $ metros
- $ v = 0,5c $
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular o denominador:
Agora, dividimos 60 por 0,8660:
Resposta
O comprimento da nave em repouso é aproximadamente 69,28 metros.