Livro: Teoria da Relatividade Especial, 2^a Edição (R Grazielli), Capítulo 3, página 58, questão 3.2.
Um observado numa plataforma espacial, cujo comprimento próprio é de 100 mede a velocidade de uma nave que passa por ele e acha 0,5 c. Por meio e um arranjo experimental que permite mediar as posições das extremidades da nave, simultaneamente, determina 60 m de comprimento dela. Qual é o comprimento da nave em repouso?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando nessa questão. Temos um observador numa plataforma espacial que tem um comprimento próprio de 100 metros. Esse observador mede a velocidade de uma nave que passa por ele e descobre que a velocidade da nave é de 0,5 c (onde $ \mathrm{c} $ é a velocidade da luz). Usando um arranjo experimental que permite medir simultaneamente as posições das extremidades da nave, o observador determina que o comprimento da nave é de 60 metros. Nossa missão aqui é descobrir qual é o comprimento da nave quando ela está em repouso, ou seja, sem se mover.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o conceito de contração do comprimento na Teoria da Relatividade Especial. De acordo com essa teoria, quando um objeto se move em alta velocidade em relação a um observador, o comprimento medido pelo observador parece menor do que o comprimento próprio do objeto (que é o comprimento quando o objeto está em repouso).
A fórmula que relaciona o comprimento observado ($ L L ó L_0 $) é:
L0
Onde:
  • $ L $ é o comprimento observado
  • $ L_0 $ é o comprimento próprio
  • $ v $ é a velocidade do objeto
  • $ c $ é a velocidade da luz

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o comprimento próprio da nave ($ L_0 $). Vamos reorganizar a fórmula para resolver $ L_0 $:
L0
Agora, vamos substituir os valores que temos na fórmula:
  • $ L = 60 $ metros
  • $ v = 0,5c $

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
L0 = 60raiz1 - (0,5cc)^2 = 60raiz1 - (0,5)^2 = 60raiz1 - 0,25 = 60raiz0,75

Passo 5

Vamos calcular o denominador:
raiz0,75 approx 0,8660
Agora, dividimos 60 por 0,8660:
L0 approx 600,8660 approx 69,28 metros

Resposta

O comprimento da nave em repouso é aproximadamente 69,28 metros.

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