Livro: Teoria da Relatividade Especial, 2^a Edição (R Grazielli), Capítulo 3, página 58, questão 3.2.
Um observado numa plataforma espacial, cujo comprimento próprio é de 100 mede a velocidade de uma nave que passa por ele e acha 0,5 c. Por meio e um arranjo experimental que permite mediar as posições das extremidades da nave, simultaneamente, determina 60 m de comprimento dela. Qual é o intervalo de tempo no relógio da nave entre as duas medidas realizadas pelo o observador da estação?

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um observador numa plataforma espacial com comprimento próprio de 100 metros. Ele mede a velocidade de uma nave que passa por ele e acha que a velocidade é de 0,5 c (metade da velocidade da luz). Usando um método que permite medir as posições das extremidades da nave ao mesmo tempo, ele determina que a nave tem 60 metros de comprimento. A pergunta é: qual é o intervalo de tempo no relógio da nave entre essas duas medidas feitas pelo observador na estação?
Aqui, estamos lidando com conceitos de Relatividade Especial, especificamente com contração do comprimento e dilatação do tempo. Vamos precisar entender como essas duas ideias se aplicam para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre contração do comprimento. Na Relatividade Especial, quando um objeto se move em relação a um observador, seu comprimento na direção do movimento parece menor para esse observador. A fórmula para calcular o comprimento contraído ( L) é:
L = L0 raiz1 - (vc)^2
Onde:
  • L0 é o comprimento próprio (comprimento no referencial da nave),
  • v é a velocidade da nave,
  • c é a velocidade da luz.
Aqui, o observador mediu o comprimento da nave como 60 metros enquanto ela se move a 0,5c.

Passo 3

Vamos isolar L0 na fórmula para encontrar o comprimento próprio da nave:
L0 = Lraiz1 - (vc)^2
Substituindo os valores:
L0 = 60, mraiz1 - (0,5)^2 = 60, mraiz1 - 0,25 = 60, mraiz0,75 approx 60, m0,8660 approx 69,28, m
Então, o comprimento próprio da nave é aproximadamente 69,28 metros.

Passo 4

Agora, vamos falar sobre dilatação do tempo. Segundo a Relatividade Especial, o tempo medido em um referencial em movimento ($ \Delta t Deéó \Delta t_0 $). A relação é dada por:
De
Onde $ \gamma $ é o fator de Lorentz:
De
Queremos encontrar $ \Delta t_0 $, o intervalo de tempo no relógio da nave. Reorganizando a fórmula:
gamma
Mas primeiro, precisamos entender qual é $ \Delta t $. Como o observador mediu o comprimento simultaneamente, o tempo entre essas medidas no referencial da plataforma está associado ao movimento da nave.
Podemos considerar que o tempo correspondente a essa medida é o tempo que a nave leva para passar pelo observador, dado pela relação:
gamma = 1raiz1 - (vc)^2 approx 1,1547
Substituindo os valores:
De

Passo 5

Agora, aplicamos a fórmula da dilatação do tempo:
De

Resposta

O intervalo de tempo no relógio da nave entre as duas medidas realizadas pelo observador da estação é aproximadamente 5,77 times 10^-7 segundos.

Exercícios relacionados