Livro: Teoria da Relatividade Especial,
Edição (R Grazielli), Capítulo 3, página 58, questão 3.2.
Um observado numa plataforma espacial, cujo comprimento próprio é de 100 mede a velocidade de uma nave que passa por ele e acha
. Por meio e um arranjo experimental que permite mediar as posições das extremidades da nave, simultaneamente, determina 60 m de comprimento dela. Qual é o intervalo de tempo no relógio da nave entre as duas medidas realizadas pelo o observador da estação?
Um observado numa plataforma espacial, cujo comprimento próprio é de 100 mede a velocidade de uma nave que passa por ele e acha
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um observador numa plataforma espacial com comprimento próprio de 100 metros. Ele mede a velocidade de uma nave que passa por ele e acha que a velocidade é de
(metade da velocidade da luz). Usando um método que permite medir as posições das extremidades da nave ao mesmo tempo, ele determina que a nave tem 60 metros de comprimento. A pergunta é: qual é o intervalo de tempo no relógio da nave entre essas duas medidas feitas pelo observador na estação?
Aqui, estamos lidando com conceitos de Relatividade Especial, especificamente com contração do comprimento e dilatação do tempo. Vamos precisar entender como essas duas ideias se aplicam para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre contração do comprimento. Na Relatividade Especial, quando um objeto se move em relação a um observador, seu comprimento na direção do movimento parece menor para esse observador. A fórmula para calcular o comprimento contraído (
) é:
Onde:
-
é o comprimento próprio (comprimento no referencial da nave), -
é a velocidade da nave, -
é a velocidade da luz.
Aqui, o observador mediu o comprimento da nave como 60 metros enquanto ela se move a
.
Passo 3
Vamos isolar
na fórmula para encontrar o comprimento próprio da nave:
Substituindo os valores:
Então, o comprimento próprio da nave é aproximadamente 69,28 metros.
Passo 4
Agora, vamos falar sobre dilatação do tempo. Segundo a Relatividade Especial, o tempo medido em um referencial em movimento ($ \Delta t
\Delta t_0 $). A relação é dada por:
Onde $ \gamma $ é o fator de Lorentz:
Queremos encontrar $ \Delta t_0 $, o intervalo de tempo no relógio da nave. Reorganizando a fórmula:
Mas primeiro, precisamos entender qual é $ \Delta t $. Como o observador mediu o comprimento simultaneamente, o tempo entre essas medidas no referencial da plataforma está associado ao movimento da nave.
Podemos considerar que o tempo correspondente a essa medida é o tempo que a nave leva para passar pelo observador, dado pela relação:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, aplicamos a fórmula da dilatação do tempo:
Resposta
O intervalo de tempo no relógio da nave entre as duas medidas realizadas pelo observador da estação é aproximadamente
segundos.