Livro: Teoria da Relatividade Especial, 2^a Edição (R Grazielli), Capítulo 3, página 58, questão 3.2.
Um observado numa plataforma espacial, cujo comprimento próprio é de 100 mede a velocidade de uma nave que passa por ele e acha 0,5 c. Por meio e um arranjo experimental que permite mediar as posições das extremidades da nave, simultaneamente, determina 60 m de comprimento dela. Para o observador na plataforma, quanto tempo ela a nave a passar por ele?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema de Relatividade Especial onde uma plataforma espacial está medindo uma nave que passa por ela. A nave tem um comprimento próprio de 100 metros e está se movendo a uma velocidade de 0,5,c (onde c é a velocidade da luz). Usando um experimento que mede as posições das extremidades da nave simultaneamente, a plataforma determina que a nave tem 60 metros de comprimento. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo a nave leva para passar completamente pela plataforma.
Para resolver isso, vamos precisar entender dois conceitos principais da Relatividade Especial:
  1. Contração do Comprimento: Como objetos se movendo a alta velocidade parecem mais curtos na direção do movimento para um observador estacionário.
  2. Cálculo de Tempo: Usar a velocidade e o comprimento para determinar o tempo que leva para um objeto se mover de um ponto a outro.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da contração do comprimento. Na Relatividade Especial, quando um objeto está se movendo a uma velocidade v em relação a um observador, o comprimento L que o observador mede é menor que o comprimento próprio L0 do objeto. A relação entre eles é dada por:
L = L0 times raiz1 - v^2c^2
Aqui:
  • L é o comprimento medido pelo observador na plataforma (60 m).
  • L0 é o comprimento próprio da nave (100 m).
  • v é a velocidade da nave ( 0,5,c).
  • c é a velocidade da luz.

Passo 3

Podemos usar essa fórmula para verificar se os valores estão consistentes ou para encontrar algum parâmetro desconhecido. Nesse caso, já temos todos os valores, então vamos focar no próximo passo, que é calcular o tempo que a nave leva para passar pela plataforma.
Sabemos que a velocidade ( v) é a taxa na qual a nave está se movendo, e o comprimento ( L) é a distância que ela precisa percorrer para passar completamente pela plataforma. A relação entre tempo, velocidade e distância é dada por:
t = Lv
Aqui, t é o tempo que queremos encontrar.

Passo 4

Vamos calcular esse tempo usando os valores que temos:
  • Comprimento L = 60,m
  • Velocidade v = 0,5,c = 0,5 times 3 times 10^8,m/s = 1,5 times 10^8,m/s
Substituindo na fórmula:
t = 60,m1,5 times 10^8,m/s = 4 times 10^-7,s
Isso significa que a nave leva 4 times 10^-7 segundos para passar completamente pela plataforma.

Resposta

A nave leva 4 times 10^-7 segundos (ou 0,4 microssegundos) para passar pela plataforma.

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