Livro: Teoria da Relatividade Especial,
Edição (R Grazielli), Capítulo 3, página 58, questão 3.3.
Uma nave espacial se move com velocidade
em relação a uma plataforma cujo comprimento próprio é 100 m . O controlador da plataforma, situado no meio dela, aciona simultaneamente (em seu relógio) sinalizadores luminosos existentes nas extremidades da plataforma. Ache a separação espacial e temporal dos clarões dos sinalizadores no referencial da nave.
Uma nave espacial se move com velocidade
Passo 1
Então, a gente tem uma nave espacial que está se movendo a 0,9 vezes a velocidade da luz (
) em relação a uma plataforma que tem um comprimento próprio de 100 metros. O controlador da plataforma, que está no meio dela, liga ao mesmo tempo dois sinalizadores de luz nas extremidades da plataforma. A parada é descobrir como esses clarões dos sinalizadores aparecem para quem está na nave: ou seja, qual é a separação espacial e o tempo entre eles no referencial da nave.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que, na plataforma, os sinalizadores são acionados simultaneamente e estão separados por 100 metros. Mas quando a gente muda de referencial para a nave, que está se movendo em relação à plataforma, as coisas mudam por causa da Teoria da Relatividade Especial.
Passo 3
A gente vai precisar usar a contração do comprimento e a dilatação do tempo, que são dois efeitos da relatividade. Mas nesse caso, como estamos falando de eventos que ocorrem simultaneamente no referencial da plataforma, vamos usar a transformação de Lorentz para encontrar como esses eventos aparecem na nave.
Passo 4
Vamos aplicar as fórmulas da transformação de Lorentz para coordenadas espaciais (
) e temporais (
):
onde:
-
(velocidade da nave), -
é o fator de Lorentz.
Passo 5
Primeiro, calculamos o fator
:
Passo 6
Na plataforma, os sinalizadores estão nas posições
e
, e são acionados ao mesmo tempo
. Vamos usar essas coordenadas para cada sinalizador:
Para o sinalizador esquerdo:
Para o sinalizador direito:
Passo 7
Aplicando a transformação de Lorentz para o sinalizador esquerdo:
Para o sinalizador direito:
Passo 8
Agora, vamos encontrar a separação espacial e temporal entre os clarões na nave:
Separação espacial:
Separação temporal:
Resposta
No referencial da nave, os clarões dos sinalizadores estão separados espacialmente por aproximadamente 229,4 metros e temporalmente com uma diferença de cerca de -6,882 × 10⁻⁷ segundos.