Livro: Teoria da Relatividade Especial, 2^a Edição (R Grazielli), Capítulo 3, página 58, questão 3.3.
Uma nave espacial se move com velocidade 0,9c em relação a uma plataforma cujo comprimento próprio é 100 m . O controlador da plataforma, situado no meio dela, aciona simultaneamente (em seu relógio) sinalizadores luminosos existentes nas extremidades da plataforma. Ache a separação espacial e temporal dos clarões dos sinalizadores no referencial da nave.

Passo 1

Então, a gente tem uma nave espacial que está se movendo a 0,9 vezes a velocidade da luz ( 0,9c) em relação a uma plataforma que tem um comprimento próprio de 100 metros. O controlador da plataforma, que está no meio dela, liga ao mesmo tempo dois sinalizadores de luz nas extremidades da plataforma. A parada é descobrir como esses clarões dos sinalizadores aparecem para quem está na nave: ou seja, qual é a separação espacial e o tempo entre eles no referencial da nave.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que, na plataforma, os sinalizadores são acionados simultaneamente e estão separados por 100 metros. Mas quando a gente muda de referencial para a nave, que está se movendo em relação à plataforma, as coisas mudam por causa da Teoria da Relatividade Especial.

Passo 3

A gente vai precisar usar a contração do comprimento e a dilatação do tempo, que são dois efeitos da relatividade. Mas nesse caso, como estamos falando de eventos que ocorrem simultaneamente no referencial da plataforma, vamos usar a transformação de Lorentz para encontrar como esses eventos aparecem na nave.

Passo 4

Vamos aplicar as fórmulas da transformação de Lorentz para coordenadas espaciais ( x') e temporais ( t'):
x' = gamma (x - vt)
t' = gamma (t - v xc^2)
onde:
  • v = 0,9c (velocidade da nave),
  • gamma = 1raiz1 - v^2c^2 é o fator de Lorentz.

Passo 5

Primeiro, calculamos o fator gamma:
gamma = 1raiz1 - (0,9)^2 = 1raiz1 - 0,81 = 1raiz0,19 approx 2,294

Passo 6

Na plataforma, os sinalizadores estão nas posições x1 = -50,m e x2 = 50,m, e são acionados ao mesmo tempo t = 0. Vamos usar essas coordenadas para cada sinalizador:
Para o sinalizador esquerdo:
x1 = -50,m, t1 = 0
Para o sinalizador direito:
x2 = 50,m, t2 = 0

Passo 7

Aplicando a transformação de Lorentz para o sinalizador esquerdo:
x'1 = gamma (x1 - v t1) = gamma (-50,m - 0) = -50,m times 2,294 approx -114,7,m
t'1 = gamma (t1 - v x1c^2) = gamma (0 - 0,9c times (-50,m)c^2) = gamma (45,mc) approx 2,294 times 45,m3 times 10^8,m/s approx 3,441 times 10^-7,s
Para o sinalizador direito:
x'2 = gamma (x2 - v t2) = gamma (50,m - 0) = 50,m times 2,294 approx 114,7,m
t'2 = gamma (t2 - v x2c^2) = gamma (0 - 0,9c times 50,mc^2) = gamma (-45,mc) approx 2,294 times (-45,m3 times 10^8,m/s) approx -3,441 times 10^-7,s

Passo 8

Agora, vamos encontrar a separação espacial e temporal entre os clarões na nave:
Separação espacial:
De
Separação temporal:
De

Resposta

No referencial da nave, os clarões dos sinalizadores estão separados espacialmente por aproximadamente 229,4 metros e temporalmente com uma diferença de cerca de -6,882 × 10⁻⁷ segundos.

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