Prova 1 - Números Complexos

  1. Reduza à forma a+j b a expressão
    \frac{j(1-j)^{2}}{j+1}

Passo 1

O enunciado pede para escrever na forma a + j\,b a expressão
\frac{j\,(1 - j)^2}{j + 1}.
Vamos usar álgebra de números complexos: expandir binomial, usar j^2=-1 e racionalizar o denominador usando o conjugado.

Passo 2

Calcular (1 - j)^2. Aplicando a fórmula do quadrado e lembrando que j^2=-1:
(1 - j)^2 = 1 - 2j + j^2 = 1 - 2j - 1 = -2j.

Passo 3

Multiplicar pelo fator j do numerador:
j\,(1 - j)^2 = j \cdot (-2j) = -2\,j^2 = -2\,(-1) = 2.
Logo a expressão original vira
\frac{2}{j + 1}.

Passo 4

Racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado de 1+j, que é 1 - j:
\frac{2}{1+j}\;\cdot\;\frac{1 - j}{1 - j} =\frac{2\,(1 - j)}{(1+j)(1 - j)}.

Passo 5

Calcular o denominador e simplificar:
(1+j)(1 - j)=1 - j^2=1 - (-1)=2,
então
\frac{2\,(1 - j)}{2} = 1 - j.
Portanto, na forma a + j\,b temos a=1 e b=-1.

Resposta

1 - j

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