lll x1^prime=2 x1+8 x2 & A e B x1^prime(0)=1 & x2(0)=-1
x2^prime=-x1-2 x2 calcu< x1(pi)+x2(pi)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais que descreve como duas funções, $ x_1(t) $ e $ x_2(t) $, mudam com o tempo. O objetivo é encontrar o valor de $ x_1(\pi) + x_2(\pi) $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e sistemas lineares. Vamos passar por cada passo juntos!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
x1' = 2x1 + 8x2 x2' = -x1 - 2x2
Além disso, sabemos as condições iniciais:
x1(0) = 1 x2(0) = -1

Passo 3

Para resolver esse sistema, vamos usar a eliminação. A ideia é combinar as equações para encontrar uma equação mais simples, que envolva apenas uma das variáveis. Vamos multiplicar a segunda equação por 2 e somar com a primeira:
Multiplicando a segunda equação por 2:
2x2' = -2x1 - 4x2
Agora, somando com a primeira equação:
x1' + 2x2' = (2x1 + 8x2) + (-2x1 - 4x2) = 0 + 4x2 = 4x2
Então, temos:
x1' + 2x2' = 4x2

Passo 4

Agora, vamos expressar $ x_2’ $ da segunda equação original:
x2'
Substituindo isso na equação que obtivemos:
x2' = -x1 - 2x2

Passo 5

Agora, observe que das duas equações do sistema original, podemos isolar $ x_2 $ em termos de $ x_1 $. Vamos reorganizar a primeira equação:
x2

Passo 6

Vamos substituir $ x_2 $ na segunda equação do sistema original usando a expressão que encontramos:
x2

Passo 7

Agora, vamos substituir $ x_2’ $ na equação que obtivemos no Passo 4:
x2'
Parece que chegamos a uma igualdade verdadeira, o que indica que as equações são dependentes. Para avançar, vamos tentar resolver uma das equações diferencialmente.

Passo 8

Vamos focar na primeira equação:
x1' = 2x1 + 8x2
E usando a relação que encontramos:
x2 = x1' - 2x18
Substituindo na equação:
x1' = 2x1 + 8 ( x1' - 2x18 ) Rightarrow x1' = 2x1 + x1' - 2x1 Rightarrow x1' - x1' = 0 Rightarrow 0 = 0
Isso confirma que as equações são dependentes. Portanto, precisamos usar outra abordagem, como métodos de eigenvalores ou matriz, para resolver o sistema.

Passo 9

Vamos representar o sistema na forma matricial:

$$
x1' x2' = 2 & 8 -1 & -2 x1 x2

A = 2 & 8 -1 & -2
$$
Chamando a matriz de A:
Para resolver o sistema, vamos encontrar os autovalores de A, que nos ajudarão a decifrar o comportamento das soluções.

Passo 10

Os autovalores $ \lambda $ de A são encontrados resolvendo o determinante de $ A - \lambda I = 0 $:
lambda
Então, os autovalores são $ \lambda = 2i $ e $ \lambda = -2i $.

Passo 11

Como os autovalores são complexos puros (são da forma $ \pm bi $), as soluções gerais do sistema terão a forma de combinações de funções seno e cosseno. A solução geral é:
pm bi

Passo 12

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, quando $ t = 0 $:
C1
Então:
C2

Passo 13

Substituindo $ C_1 = 1 $ e $ C_2 = -4 $ nas soluções gerais:
C1 = 1

Passo 14

Finalmente, queremos calcular $ x_1(\pi) + x_2(\pi) $.
Vamos calcular cada um separadamente:
x1(pi) + x2(pi)
Então:
x1(pi) = cos(2pi) -4 sin(2pi) = 1 - 0 = 1 x2(pi) = -14 sin(2pi) - cos(2pi) = 0 -1 = -1

Resposta

$ x_1(\pi) + x_2(\pi) = 0 $

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