Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais que descreve como duas funções, $ x_1(t) $ e $ x_2(t) $, mudam com o tempo. O objetivo é encontrar o valor de $ x_1(\pi) + x_2(\pi) $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e sistemas lineares. Vamos passar por cada passo juntos!
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que temos:
Além disso, sabemos as condições iniciais:
Passo 3
Para resolver esse sistema, vamos usar a eliminação. A ideia é combinar as equações para encontrar uma equação mais simples, que envolva apenas uma das variáveis. Vamos multiplicar a segunda equação por 2 e somar com a primeira:
Multiplicando a segunda equação por 2:
Agora, somando com a primeira equação:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos expressar $ x_2’ $ da segunda equação original:
Substituindo isso na equação que obtivemos:
Passo 5
Agora, observe que das duas equações do sistema original, podemos isolar $ x_2 $ em termos de $ x_1 $. Vamos reorganizar a primeira equação:
Passo 6
Vamos substituir $ x_2 $ na segunda equação do sistema original usando a expressão que encontramos:
Passo 7
Agora, vamos substituir $ x_2’ $ na equação que obtivemos no Passo 4:
Parece que chegamos a uma igualdade verdadeira, o que indica que as equações são dependentes. Para avançar, vamos tentar resolver uma das equações diferencialmente.
Passo 8
Vamos focar na primeira equação:
E usando a relação que encontramos:
Substituindo na equação:
Isso confirma que as equações são dependentes. Portanto, precisamos usar outra abordagem, como métodos de eigenvalores ou matriz, para resolver o sistema.
Passo 9
Vamos representar o sistema na forma matricial:
$$
$$
Chamando a matriz de A:
Para resolver o sistema, vamos encontrar os autovalores de A, que nos ajudarão a decifrar o comportamento das soluções.
Passo 10
Os autovalores $ \lambda $ de A são encontrados resolvendo o determinante de $ A - \lambda I = 0 $:
Então, os autovalores são $ \lambda = 2i $ e $ \lambda = -2i $.
Passo 11
Como os autovalores são complexos puros (são da forma $ \pm bi $), as soluções gerais do sistema terão a forma de combinações de funções seno e cosseno. A solução geral é:
Passo 12
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar os valores de $ C_1 $ e $ C_2 $.
Primeiro, quando $ t = 0 $:
Então:
Passo 13
Substituindo $ C_1 = 1 $ e $ C_2 = -4 $ nas soluções gerais:
Passo 14
Finalmente, queremos calcular $ x_1(\pi) + x_2(\pi) $.
Vamos calcular cada um separadamente:
Então:
Resposta
$ x_1(\pi) + x_2(\pi) = 0 $