ll x1^prime=3 x1-18 x2 & c1 e c2 SĀ CONSTANTES x2^prime=2 x1-9 x2 & QUAL A SOLUCAU GERAL Ā

Passo 1

O enunciado pede a solução geral do sistema linear de EDOs homogêneas de primeira ordem com coeficientes constantes: x1'=3x1-18x2 e x2'=2x1-9x2. Vamos usar autovalores, autovetores e vetor generalizado para o caso de raiz dupla.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial x'=Ax, onde:
A=3 & -182 & -9

Passo 3

Calculamos o polinômio característico pelo determinante de A-lambda I:
det(A-lambda I)=(3-lambda)(-9-lambda)-(-18)cdot2=lambda^2+6lambda+9=(lambda+3)^2
Logo o autovalor é lambda=-3 com multiplicidade algébrica 2.

Passo 4

Encontramos o autovetor associado resolvendo (A+3I)v=0. A matriz A+3I é:
A+3I=6 & -182 & -6
A única condição é 6v1-18v2=0, ou seja v1=3v2. Podemos escolher
v=31

Passo 5

Como só temos um autovetor e a multiplicidade geométrica é 1, precisamos de um vetor generalizado w que satisfaça (A+3I)w=v. Resolvendo:
(A+3I)w=v
Dá a equação 6w1-18w2=3, por exemplo escolhemos w2=0 e obtemos w1=1/2. Assim:
w=1/20

Passo 6

Construímos as soluções fundamentais. Para raiz dupla com vetor generalizado, temos:
x^(1)(t)=e^-3tv,
x^(2)(t)=e^-3t(tv+w)

Resposta

A solução geral do sistema é
x(t)=c1e^-3t31+c2e^-3tl(t31+1/20r),
onde c1 e c2 são constantes arbitrárias.

Exercícios relacionados