Passo 1
O enunciado pede a solução geral do sistema linear de EDOs homogêneas de primeira ordem com coeficientes constantes:
e
. Vamos usar autovalores, autovetores e vetor generalizado para o caso de raiz dupla.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma matricial
, onde:
Passo 3
Calculamos o polinômio característico pelo determinante de
:
Logo o autovalor é
com multiplicidade algébrica 2.
Passo 4
Encontramos o autovetor associado resolvendo
. A matriz
é:
A única condição é
, ou seja
. Podemos escolher
Passo 5
Como só temos um autovetor e a multiplicidade geométrica é 1, precisamos de um vetor generalizado
que satisfaça
. Resolvendo:
Dá a equação
, por exemplo escolhemos
e obtemos
. Assim:
Passo 6
Construímos as soluções fundamentais. Para raiz dupla com vetor generalizado, temos:
Resposta
A solução geral do sistema é
onde
e
são constantes arbitrárias.