Procurar um fator integrante e resolver as equações
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial na forma diferencial e pede dois objetivos: (1) procurar um fator integrante e (2) resolver a equação. A equação fornecida é
Lista das informações relevantes que estão no enunciado:
Não há mais informações adicionais (condição inicial) — portanto procuramos a solução geral (implícita). A resolução começa agora.
Passo 2
Verificamos se a forma diferencial é exata (isso decide se precisamos de fator integrante). Lembre: uma forma
é exata numa região simplesmente conexa se
Calculemos as derivadas parciais:
Como
, a forma é exata. Conclusão sobre fator integrante: não é necessário multiplicar por nada — um fator integrante é
.
Passo 3
Quando a forma é exata, existe uma função potencial
tal que
Para encontrar
integramos
em relação a
mantendo
como constante:
onde
é uma função que aparece como “constante” da integração em relação a
(pode depender de
).
Passo 4
Calculamos a integral
passo a passo. Primeiro separe:
A primeira parte é simples:
Agora a integral
. Usamos integração por partes duas vezes. Lembre a fórmula: se
são funções,
.
Escolha
,
. Então
,
. Assim
Agora integramos
. Aplicando integração por partes de novo com
,
(logo
,
):
Portanto
Voltando:
Logo a integral inicial é
Passo 5
Agora usamos a segunda condição
. Da expressão encontrada para
,
temos
Integrando
em
:
onde
é constante arbitrária.
Passo 6
Portanto a função potencial completa é
A solução geral implícita da equação diferencial exata é
constante. Podemos escrever a solução em forma mais limpa agrupando a constante: