Procurar um fator integrante e resolver as equações
x d x-y d y=x^{2} e^{x} d x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma diferencial e pede dois objetivos: (1) procurar um fator integrante e (2) resolver a equação. A equação fornecida é
x\,dx - y\,dy = x^{2} e^{x}\,dx.
Lista das informações relevantes que estão no enunciado:
\text{Colocando na forma }M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0:
M(x,y) = x - x^{2} e^{x},\qquad N(x,y) = -y.
Não há mais informações adicionais (condição inicial) — portanto procuramos a solução geral (implícita). A resolução começa agora.

Passo 2

Verificamos se a forma diferencial é exata (isso decide se precisamos de fator integrante). Lembre: uma forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy é exata numa região simplesmente conexa se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=0\qquad\text{(pois \(M\) não depende de \(y\))},ã
\frac{\partial N}{\partial x}=0\qquad\text{(pois \(N\) não depende de \(x\))}.ã
Como \frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=0, a forma é exata. Conclusão sobre fator integrante: não é necessário multiplicar por nada — um fator integrante é \mu(x,y)=1.

Passo 3

Quando a forma é exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y)=x - x^{2} e^{x},\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y)=-y.
Para encontrar \Phi integramos M em relação a x mantendo y como constante:
\Phi(x,y)=\int \big(x - x^{2} e^{x}\big)\,dx + H(y),
onde H(y) é uma função que aparece como “constante” da integração em relação a x (pode depender de y).

Passo 4

Calculamos a integral \int (x - x^{2} e^{x})\,dx passo a passo. Primeiro separe:
\int x\,dx - \int x^{2} e^{x}\,dx.
A primeira parte é simples:
\int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}.
Agora a integral \int x^{2} e^{x}\,dx. Usamos integração por partes duas vezes. Lembre a fórmula: se u,v são funções, \int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolha u=x^{2}, dv=e^{x}dx. Então du=2x\,dx, v=e^{x}. Assim
\int x^{2} e^{x}\,dx = x^{2} e^{x} - \int 2x e^{x}\,dx.
Agora integramos \int 2x e^{x}\,dx = 2\int x e^{x}\,dx. Aplicando integração por partes de novo com u=x, dv=e^{x}dx (logo du=dx, v=e^{x}):
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x}.
Portanto
\int 2x e^{x}\,dx = 2\big(x e^{x} - e^{x}\big)=2x e^{x}-2e^{x}.
Voltando:
\int x^{2} e^{x}\,dx = x^{2} e^{x} - \big(2x e^{x}-2e^{x}\big) = e^{x}\big(x^{2}-2x+2\big).
Logo a integral inicial é
\int \big(x - x^{2} e^{x}\big)\,dx = \frac{x^{2}}{2} - e^{x}\big(x^{2}-2x+2\big) + H(y).

Passo 5

Agora usamos a segunda condição \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y)=-y. Da expressão encontrada para \Phi,
\Phi(x,y)=\frac{x^{2}}{2} - e^{x}\big(x^{2}-2x+2\big) + H(y),
temos
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=H'(y) = -y.
Integrando H'(y)=-y em y:
H(y) = -\frac{y^{2}}{2} + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 6

Portanto a função potencial completa é
\Phi(x,y)=\frac{x^{2}}{2} - e^{x}\big(x^{2}-2x+2\big) - \frac{y^{2}}{2} + C.
A solução geral implícita da equação diferencial exata é \Phi(x,y)= constante. Podemos escrever a solução em forma mais limpa agrupando a constante:
\frac{x^{2}}{2} - e^{x}\big(x^{2}-2x+2\big) - \frac{y^{2}}{2} = C.

Resposta

\mu(x,y)=1
\dfrac{x^{2}}{2} - e^{x}\big(x^{2}-2x+2\big) - \dfrac{y^{2}}{2} = C

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