Em locais com alta amplitude de marés, é possível gerar energia elétrica de maneira competitiva aproveitando a variação no nível da água do mar. O método consiste em encher um reservatório na maré cheia e esvaziá-lo na vazante, alimentando um gerador com o movimento da água. O limite teórico de eficiência para esta tecnologia consiste na conversão completa da energia potencial gravitacional da água em energia elétrica. A energia potencial gravitacional armazenada em um reservatório pode ser calculada a partir da contribuição infinitesimal d E=g z d m=rho g z d V.
Mostre que para qualquer reservatório com uma profundidade constante h, a energia potencial armazenada é de rho g V h / 2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a energia potencial gravitacional armazenada num reservatório de profundidade constante h, sabendo que o elemento infinitesimal de energia é dado por dE=rho g z,dV. O conteúdo envolve integração de energia potencial sobre o volume e relação com o volume total.

Passo 2

Escolhemos um eixo vertical z com origem no fundo ( z=0) e a superfície da água em z=h. Como o reservatório tem paredes verticais, a área de seção transversal A é constante de baixo a cima, então dV=A,dz. Logo a energia total é:
E=integral dE=rho gintegral0^hz,dV=rho gintegral0^hz,A,dz=rho g Aintegral0^hz,dz

Passo 3

Basta calcular a integral e usar V=A h. Primeiro:
integral0^hz,dz=h^22,
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E=rho g Ah^22
Como V=A h, substituímos para obter
E=rho gVh2

Resposta

A energia potencial armazenada é E=rho g V h2.

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