Em locais com alta amplitude de marés, é possível gerar energia elétrica de maneira competitiva aproveitando a variação no nível da água do mar. O método consiste em encher um reservatório na maré cheia e esvaziá-lo na vazante, alimentando um gerador com o movimento da água. O limite teórico de eficiência para esta tecnologia consiste na conversão completa da energia potencial gravitacional da água em energia elétrica. A energia potencial gravitacional armazenada em um reservatório pode ser calculada a partir da contribuição infinitesimal
.
Mostre que para qualquer reservatório com uma profundidade constante
, a energia potencial armazenada é de
.
Mostre que para qualquer reservatório com uma profundidade constante
Passo 1
O enunciado pede para calcular a energia potencial gravitacional armazenada num reservatório de profundidade constante
, sabendo que o elemento infinitesimal de energia é dado por
. O conteúdo envolve integração de energia potencial sobre o volume e relação com o volume total.
Passo 2
Escolhemos um eixo vertical
com origem no fundo (
) e a superfície da água em
. Como o reservatório tem paredes verticais, a área de seção transversal
é constante de baixo a cima, então
. Logo a energia total é:
Passo 3
Basta calcular a integral e usar
. Primeiro:
logo
Como
, substituímos para obter
Resposta
A energia potencial armazenada é
.