Questão 7. Calcule a área da superfície de revolução das curvas paramétricas a seguir em torno do eixo
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Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a área da superfície gerada quando a curva paramétrica $ x = 3t - t^{3} $ e $ y = 3t^{2} $, para $ 0 \leq t \leq 1 $, é girada em torno do eixo $ x $. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, mais especificamente, cálculo de superfícies de revolução usando parametrização.
Passo 2
Primeiro, a gente lembra a fórmula para encontrar a área de uma superfície de revolução em torno do eixo $ x $ para curvas paramétricas:
Aqui, $ y(t) $ é a função que representa a distância da curva em relação ao eixo $ x $, e $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $ são as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Passo 4
Agora, vamos substituir essas derivadas na expressão dentro da raiz:
Vamos expandir $ (3 - 3t{2}){2} $:
Então, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 5
Agora, substituímos tudo na fórmula da área:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Calculando cada uma:
Somando os resultados:
Passo 7
Finalmente, multiplicamos pelo $ 2\pi $:
Resposta
A área da superfície de revolução é $ \frac{48\pi}{5} $ unidades quadradas.