Questão 7. Calcule a área da superfície de revolução das curvas paramétricas a seguir em torno do eixo x.
x=3 t-t^3, y=3 t^2 ; 0 <= t <= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa calcular a área da superfície gerada quando a curva paramétrica $ x = 3t - t^{3} $ e $ y = 3t^{2} $, para $ 0 \leq t \leq 1 $, é girada em torno do eixo $ x $. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, mais especificamente, cálculo de superfícies de revolução usando parametrização.

Passo 2

Primeiro, a gente lembra a fórmula para encontrar a área de uma superfície de revolução em torno do eixo $ x $ para curvas paramétricas:
x
Aqui, $ y(t) $ é a função que representa a distância da curva em relação ao eixo $ x $, e $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $ são as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ t $.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas necessárias:
dxdt = ddt(3t - t^3) = 3 - 3t^2
dydt = ddt(3t^2) = 6t

Passo 4

Agora, vamos substituir essas derivadas na expressão dentro da raiz:
raiz( 3 - 3t^2 )^2 + ( 6t )^2 = raiz(3 - 3t^2)^2 + 36t^2
Vamos expandir $ (3 - 3t{2}){2} $:
(3 - 3t^2)^2
Então, a expressão dentro da raiz fica:
(3 - 3t^2)^2 = 9 - 18t^2 + 9t^4

Passo 5

Agora, substituímos tudo na fórmula da área:
S = 2pi integral0^1 3t^2 cdot 3(t^2 + 1) , dt = 2pi integral0^1 9t^2(t^2 + 1) , dt
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
9t^2(t^2 + 1) = 9t^4 + 9t^2
Então, a integral fica:
S = 2pi integral0^1 (9t^4 + 9t^2) , dt

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
integral0^1 (9t^4 + 9t^2) , dt = 9integral0^1 t^4 , dt + 9integral0^1 t^2 , dt
Calculando cada uma:
9integral0^1 t^4 , dt = 9 [ t^55 ]0^1 = 9 ( 15 - 0 ) = 95
9integral0^1 t^2 , dt = 9 [ t^33 ]0^1 = 9 ( 13 - 0 ) = 3
Somando os resultados:
95 + 3 = 95 + 155 = 245

Passo 7

Finalmente, multiplicamos pelo $ 2\pi $:
2pi

Resposta

A área da superfície de revolução é $ \frac{48\pi}{5} $ unidades quadradas.

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