Teste a serie quanto a convergência ou divergência.
sumn=1^infty 2^n-1 3^n+1n^n

Passo 1

A série em questão é sumn=1^infty 2^n-13^n+1n^n. Estamos no tópico de testes de convergência de séries numéricas e vamos usar o teste da raiz, que é bastante eficiente quando a expressão depende de n em expoentes.

Passo 2

O teste da raiz diz que, para an termo geral da série, definimos L = limntoinfty raiz[n]|an|. Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui temos an = 2^n-13^n+1n^n Vamos calcular raiz[n]an:
raiz[n]an = (2^n-13^n+1n^n)^1/n = 2^n-1n,3^n+1nn

Passo 4

Agora estudamos o limite quando ntoinfty de cada parte: 2^n-1nto2, 3^n+1nto3 e ntoinfty. Logo
limntoinftyraiz[n]an = limntoinfty 2^n-1n,3^n+1nn = 2cdot3infty = 0

Passo 5

Como esse limite L=0 é menor que 1, o teste da raiz garante que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta pelo teste da raiz, já que o limite da raiz enésima do termo geral é 0 < 1).

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