Localizar os zeros reais de cada função a seguir:
;
Passo 1
O enunciado pede: localizar os zeros reais da função
definida por
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é um polinômio de grau
. - Quer‑se encontrar todos os valores reais de
tais que .
Passo 2
Primeiro, um lembrete teórico curto e útil (não assuma que já sabe):
- O Teorema do Valor Intermediário diz que se
é contínua e e têm sinais opostos, então existe tal que . Polinômios são funções contínuas, então podemos usar isso para garantir existência de raízes em intervalos onde o sinal muda. - A segunda derivada ajuda a decidir sobre convexidade: se
para todo , então é estritamente convexo e pode cortar o eixo no máximo duas vezes (uma função convexo para cima não pode oscilar muitas vezes).
Agora aplico isso a.
Calcule as derivadas:
Note que para todo
vale
, então
Logo
é estritamente convexa no eixo real. Conclusão importante:
pode ter no máximo duas raízes reais.
Passo 3
Agora vamos procurar mudanças de sinal para garantir existência de raízes pelo Teorema do Valor Intermediário. Avalio
em alguns pontos inteiros/fáceis:
Como
e
, existe pelo menos uma raiz real em
.
Do lado negativo:
Como
e
, existe pelo menos uma raiz real em
.
Juntando com a convexidade (no máximo duas raízes reais) e estas duas existências, concluímos que
tem exatamente duas raízes reais — uma em
e outra em
. Agora vamos localizá‑las com mais precisão.
Passo 4
Método de aproximação usado: bissecção (simples, sempre funciona e dá controle do erro). Vou refinar a raiz positiva em
. Começo com um intervalo menor usando avaliações intermediárias.
Avaliações já feitas:
Como
e
, a raiz está em
.
Avalio no ponto médio
:
então a raiz está em
.
Avalio em
:
então raiz em
.
Avalio em
:
então raiz em
.
Avalio em
:
logo raiz em
.
Agora temos intervalo pequeno
de largura
. Podemos refinar mais algumas iterações para obter 4 casas decimais confiáveis.
Avalio em
:
Avalio em
:
Portanto raiz em
. A média desses é
e o sinal troca dentro desse intervalo de largura
. Com isso, uma boa aproximação com quatro casas decimais é
(Verificação rápida:
, muito próximo de zero.)
Passo 5
Agora refino a raiz negativa em
pelo mesmo procedimento. Comecei com avaliações:
logo raiz em
.
Avalio
:
então raiz em
.
Avalio
:
então raiz em
.
Avalio
:
então raiz em
.
Agora intervalo
de largura
. Refinando:
Avalio
:
Avalio
:
Logo raiz em
com largura
. Mais uma iteração:
Avalio
:
portanto raiz em
de largura
. Assim uma aproximação com quatro casas decimais é
(Observação: interpolação e avaliações numéricas dão
mais precisamente.)
Passo 6
Resumo e interpretação: mostramos que
é estritamente convexa (
), logo tem no máximo duas raízes reais. Pelo Teorema do Valor Intermediário encontramos duas mudanças de sinal e, portanto, exatamente duas raízes reais. As aproximamos por bissecção/avaliações numéricas.