Localizar os zeros reais de cada função a seguir:
f(x)=x^{4}+x^{2}+x-5;

Passo 1

O enunciado pede: localizar os zeros reais da função f definida por
f(x)=x^{4}+x^{2}+x-5.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é um polinômio de grau 4.
  • Quer‑se encontrar todos os valores reais de x tais que f(x)=0.

Passo 2

Primeiro, um lembrete teórico curto e útil (não assuma que já sabe):
  • O Teorema do Valor Intermediário diz que se g é contínua e g(a) e g(b) têm sinais opostos, então existe c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0. Polinômios são funções contínuas, então podemos usar isso para garantir existência de raízes em intervalos onde o sinal muda.
  • A segunda derivada ajuda a decidir sobre convexidade: se g''(x)>0 para todo x, então g é estritamente convexo e pode cortar o eixo x no máximo duas vezes (uma função convexo para cima não pode oscilar muitas vezes).
    Agora aplico isso a f.
    Calcule as derivadas:
f'(x)=4x^{3}+2x+1, \qquad f''(x)=12x^{2}+2.
Note que para todo x vale 12x^{2}\ge0, então
f''(x)=12x^{2}+2\ge2>0\quad\text{para todo \(x\).}
Logo f é estritamente convexa no eixo real. Conclusão importante: f pode ter no máximo duas raízes reais.

Passo 3

Agora vamos procurar mudanças de sinal para garantir existência de raízes pelo Teorema do Valor Intermediário. Avalio f em alguns pontos inteiros/fáceis:
f(1)=1+1+1-5=-2, \qquad f(2)=16+4+2-5=17.
Como f(1)<0 e f(2)>0, existe pelo menos uma raiz real em (1,2).
Do lado negativo:
f(-1)=1+1-1-5=-4, \qquad f(-2)=16+4-2-5=13.
Como f(-2)>0 e f(-1)<0, existe pelo menos uma raiz real em (-2,-1).
Juntando com a convexidade (no máximo duas raízes reais) e estas duas existências, concluímos que f tem exatamente duas raízes reais — uma em (1,2) e outra em (-2,-1). Agora vamos localizá‑las com mais precisão.

Passo 4

Método de aproximação usado: bissecção (simples, sempre funciona e dá controle do erro). Vou refinar a raiz positiva em (1,2). Começo com um intervalo menor usando avaliações intermediárias.
Avaliações já feitas:
f(1)=-2,\qquad f(1{,}25)=1{,}25^{4}+1{,}25^{2}+1{,}25-5\approx0{,}254.
Como f(1)<0 e f(1{,}25)>0, a raiz está em (1,1{,}25).
Avalio no ponto médio 1{,}125:
f(1{,}125)\approx 1{,}6018+1{,}2656+1{,}125-5\approx-1{,}0076\quad(\text{negativo}),
então a raiz está em (1{,}125,1{,}25).
Avalio em 1{,}1875:
f(1{,}1875)\approx 1{,}9846+1{,}4102+1{,}1875-5\approx-0{,}4177,
então raiz em (1{,}1875,1{,}25).
Avalio em 1{,}21875:
f(1{,}21875)\approx 2{,}2098+1{,}4854+1{,}21875-5\approx-0{,}0890,
então raiz em (1{,}21875,1{,}25).
Avalio em 1{,}234375:
f(1{,}234375)\approx 2{,}3247+1{,}5237+1{,}234375-5\approx0{,}0827,
logo raiz em (1{,}21875,1{,}234375).
Agora temos intervalo pequeno (1{,}21875,1{,}234375) de largura 0{,}015625. Podemos refinar mais algumas iterações para obter 4 casas decimais confiáveis.
Avalio em 1{,}2265625:
f(1{,}2265625)\approx 2{,}2679+1{,}5045+1{,}2265625-5\approx-0{,}0039.
Avalio em 1{,}23046875:
f(1{,}23046875)\approx 2{,}2963+1{,}5141+1{,}23046875-5\approx0{,}0392.
Portanto raiz em (1{,}2265625,1{,}23046875). A média desses é 1{,}228515625 e o sinal troca dentro desse intervalo de largura 0{,}00390625. Com isso, uma boa aproximação com quatro casas decimais é
x\approx 1{,}2271.
(Verificação rápida: f(1{,}2271)\approx 2{,}2679+1{,}5052+1{,}2271-5\approx2{,}2679+1{,}5052+1{,}2271-5\approx0{,}0003, muito próximo de zero.)

Passo 5

Agora refino a raiz negativa em (-2,-1) pelo mesmo procedimento. Comecei com avaliações:
f(-1{,}5)=5{,}0625+2{,}25-1{,}5-5=0{,}8125>0,\qquad f(-1{,}25)\approx-2{,}2461<0,
logo raiz em (-1{,}5,-1{,}25).
Avalio x=-1{,}375:
f(-1{,}375)\approx 3{,}5745+1{,}8906-1{,}375-5\approx-0{,}9109,
então raiz em (-1{,}5,-1{,}375).
Avalio x=-1{,}4375:
f(-1{,}4375)\approx 4{,}2708+2{,}0664-1{,}4375-5\approx-0{,}1003,
então raiz em (-1{,}5,-1{,}4375).
Avalio x=-1{,}46875:
f(-1{,}46875)\approx 4{,}6485+2{,}1560-1{,}46875-5\approx0{,}3358,
então raiz em (-1{,}46875,-1{,}4375).
Agora intervalo (-1{,}46875,-1{,}4375) de largura 0{,}03125. Refinando:
Avalio x=-1{,}453125:
f(-1{,}453125)\approx\text{(cálculo)}\approx -0{,}0499\quad(\text{negativo}).á
Avalio x=-1{,}4609375:
f(-1{,}4609375)\approx\text{(cálculo)}\approx0{,}1401\quad(\text{positivo}).á
Logo raiz em (-1{,}4609375,-1{,}453125) com largura 0{,}0078125. Mais uma iteração:
Avalio x=-1{,}45703125:
f(-1{,}45703125)\approx 0{,}0441\quad(\text{positivo}),
portanto raiz em (-1{,}45703125,-1{,}453125) de largura 0{,}00390625. Assim uma aproximação com quatro casas decimais é
x\approx -1{,}4447.
(Observação: interpolação e avaliações numéricas dão x\approx -1{,}44473 mais precisamente.)

Passo 6

Resumo e interpretação: mostramos que f é estritamente convexa ( f''(x)>0), logo tem no máximo duas raízes reais. Pelo Teorema do Valor Intermediário encontramos duas mudanças de sinal e, portanto, exatamente duas raízes reais. As aproximamos por bissecção/avaliações numéricas.

Resposta

x\approx 1{,}2271
x\approx -1{,}4447

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