Localizar os zeros reais de cada função a seguir:
;
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos. A função dada é
O problema pede: localizar os zeros reais de
, isto é, encontrar todos os
tais que
Informações relevantes do enunciado:
- A função envolve
(função exponencial) e (seno), somadas e deslocadas por . - Não foi dada solução fechada explícita; é uma equação transcendental (não se resolve por fórmulas algébricas simples).
O que se pede: determinar todos os valores reais deque anulam . A resolução começa agora.
Passo 2
Verificar sinal de
para
para eliminar possíveis raízes em
.
Proposição útil (muito usada em provas): para
vale
e
. Portanto, para
temos
A igualdade
ocorreria somente se
e
simultaneamente. Mas
implica
, enquanto
implica
(nenhum desses é
). Logo para todo
a soma é estritamente menor que
, ou seja
Portanto
para todo
. Conclusão: não há raízes com
.
Passo 3
Mostrar existência de pelo menos uma raiz em
.
Calcular
em dois pontos fáceis:
E
Como
(pois
e seno é positivo neste ângulo), segue
. Assim
e
. Pelo Teorema do Valor Intermediário (a função
é contínua porque
e
são contínuas), existe pelo menos um
tal que
. Logo existe pelo menos uma raiz real em
.
Passo 4
Mostrar unicidade da raiz em
.
Estudar a derivada
Para
temos
e
. Portanto
já que
quando
. Assim
é estritamente positiva em
, o que implica que
é estritamente crescente em
. Como
é crescente e mudava de sinal entre
e
(Passo 3), só pode haver exatamente uma raiz em
. Juntando com o resultado do Passo 2 (nenhuma raiz em
), concluímos que existe exatamente uma raiz real de
.
Passo 5
Como encontrar numericamente (aproximação) essa única raiz — explicação do método e execução com bissecção.
Método escolhido: bissecção (robusto e didático). Ideia do método: como
é contínua e
e
têm sinais opostos, existe raiz em
. Divide-se o intervalo ao meio e escolhe-se o subintervalo onde o sinal muda; repete-se até atingir a precisão desejada. Vou aplicar sobre o intervalo inicial
(sabemos que a raiz está em
e
, e já testei
que dá sinal positivo).
Cálculos (mostrando iterações com aproximações decentes; cada valor numérico está em notação decimal dentro de
):
-
, . Sinais opostos, boa. -
. Calcular :
Logo raiz em
.
-
. Calcular :
Raiz em
.
-
. Calcular :
Raiz em
.
-
. Calcular :
Agora a raiz está em
.
-
. Calcular :
Raiz em
.
-
. Calcular :
Raiz em
.
-
. Calcular :
Raiz em
.
-
. Calcular :
Raiz em
.
Depois dessas iterações temos o intervalo de incerteza com largura
, e a raiz está dentro dele. Uma boa aproximação decimal com três casas decimais é
Se quiser mais precisão usa-se mais iterações (ou Newton, que converge mais rápido). A bissecção aqui já dá confiança de que a raiz é aproximadamente
(com erro menor que
).
Passo 6
Breve comentário sobre método rápido alternativo (Newton) — ideia e uma iteração para melhorar a aproximação.
Regra de Newton para a equação
:
onde
. Tomando
(da bissecção) e calculando
e
dá uma correção pequena que leva a uma raiz mais precisa, por exemplo
(uma iteração ou duas tipicamente já dão esta precisão). A Newton exige cálculo de
e
com boa precisão; para provas, a bissecção com algumas etapas costuma ser suficiente para justificar a localização da raiz.