Localizar os zeros reais de cada função a seguir:
f(x)=\operatorname{sen}(x)-2+e^{x};

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais informações temos. A função dada é
f(x)=\operatorname{sen}(x)-2+e^{x}.
O problema pede: localizar os zeros reais de f, isto é, encontrar todos os x\in\mathbb{R} tais que
f(x)=0\quad\Longleftrightarrow\quad e^{x}+\operatorname{sen}(x)-2=0.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função envolve e^{x} (função exponencial) e \operatorname{sen}(x) (seno), somadas e deslocadas por -2.
  • Não foi dada solução fechada explícita; é uma equação transcendental (não se resolve por fórmulas algébricas simples).
    O que se pede: determinar todos os valores reais de x que anulam f. A resolução começa agora.

Passo 2

Verificar sinal de f para x\le 0 para eliminar possíveis raízes em (-\infty,0].
Proposição útil (muito usada em provas): para x\le 0 vale e^{x}\le 1 e \operatorname{sen}(x)\le 1. Portanto, para x\le 0 temos
e^{x}+\operatorname{sen}(x)\le 1+1=2.
A igualdade e^{x}+\operatorname{sen}(x)=2 ocorreria somente se e^{x}=1 e \operatorname{sen}(x)=1 simultaneamente. Mas e^{x}=1 implica x=0, enquanto \operatorname{sen}(x)=1 implica x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi (nenhum desses é 0). Logo para todo x\le 0 a soma é estritamente menor que 2, ou seja
e^{x}+\operatorname{sen}(x)-2<0\quad\text{para todo }x\le 0.
Portanto f(x)<0 para todo x\le 0. Conclusão: não há raízes com x\le 0.

Passo 3

Mostrar existência de pelo menos uma raiz em (0,\infty).
Calcular f em dois pontos fáceis:
f(0)=e^{0}+\operatorname{sen}(0)-2=1+0-2=-1<0.
E
f(\ln 2)=e^{\ln 2}+\operatorname{sen}(\ln 2)-2=2+\operatorname{sen}(\ln 2)-2=\operatorname{sen}(\ln 2).
Como \operatorname{sen}(\ln 2)>0 (pois \ln 2\approx0{,}693 e seno é positivo neste ângulo), segue f(\ln 2)>0. Assim f(0)<0 e f(\ln 2)>0. Pelo Teorema do Valor Intermediário (a função f é contínua porque e^{x} e \operatorname{sen}(x) são contínuas), existe pelo menos um c\in(0,\ln 2) tal que f\text{(c)}=0. Logo existe pelo menos uma raiz real em (0,\ln 2).

Passo 4

Mostrar unicidade da raiz em (0,\infty).
Estudar a derivada
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}+\operatorname{sen}(x)-2\bigr)=e^{x}+\cos(x).
Para x>0 temos e^{x}>1 e \cos(x)\ge-1. Portanto
f'(x)=e^{x}+\cos x \ge e^{x}-1>0\quad\text{para todo }x>0,
já que e^{x}-1>0 quando x>0. Assim f' é estritamente positiva em (0,\infty), o que implica que f é estritamente crescente em (0,\infty). Como f é crescente e mudava de sinal entre 0 e \ln 2 (Passo 3), só pode haver exatamente uma raiz em (0,\infty). Juntando com o resultado do Passo 2 (nenhuma raiz em (-\infty,0]), concluímos que existe exatamente uma raiz real de f.

Passo 5

Como encontrar numericamente (aproximação) essa única raiz — explicação do método e execução com bissecção.
Método escolhido: bissecção (robusto e didático). Ideia do método: como f é contínua e f(a) e f(b) têm sinais opostos, existe raiz em (a,b). Divide-se o intervalo ao meio e escolhe-se o subintervalo onde o sinal muda; repete-se até atingir a precisão desejada. Vou aplicar sobre o intervalo inicial [0,0{,}5] (sabemos que a raiz está em (0,\ln 2) e \ln 2\approx0{,}693, e já testei 0{,}5 que dá sinal positivo).
Cálculos (mostrando iterações com aproximações decentes; cada valor numérico está em notação decimal dentro de ...):
  1. a_0=0, b_0=0{,}5.
    f(0)= -1\quad (\text{negativo}),\qquad f(0{,}5)=e^{0{,}5}+\operatorname{sen}(0{,}5)-2\approx1{,}6487+0{,}4794-2\approx0{,}1281\\ (>0).
    Sinais opostos, boa.
  2. m_1=0{,}25. Calcular f(0{,}25):
    e^{0{,}25}\approx1{,}2840,\qquad \operatorname{sen}(0{,}25)\approx0{,}2474,
f(0{,}25)\approx1{,}2840+0{,}2474-2\approx-0{,}4686\\ (<0).
Logo raiz em (0{,}25,0{,}5).
  1. m_2=0{,}375. Calcular f(0{,}375): e^{0{,}375}\approx1{,}4559,\qquad \operatorname{sen}(0{,}375)\approx0{,}3659,
f(0{,}375)\approx1{,}4559+0{,}3659-2\approx-0{,}1782\\ (<0).
Raiz em (0{,}375,0{,}5).
  1. m_3=0{,}4375. Calcular f(0{,}4375): e^{0{,}4375}\approx1{,}5480,\qquad \operatorname{sen}(0{,}4375)\approx0{,}4240,
f(0{,}4375)\approx1{,}5480+0{,}4240-2\approx-0{,}0280\\ (<0).
Raiz em (0{,}4375,0{,}5).
  1. m_4=0{,}46875. Calcular f(0{,}46875): e^{0{,}46875}\approx1{,}5976,\qquad \operatorname{sen}(0{,}46875)\approx0{,}4527,
f(0{,}46875)\approx1{,}5976+0{,}4527-2\approx0{,}0503\\ (>0).
Agora a raiz está em (0{,}4375,0{,}46875).
  1. m_5=0{,}453125. Calcular f(0{,}453125): e^{0{,}453125}\approx1{,}5727,\qquad \operatorname{sen}(0{,}453125)\approx0{,}4385,
f(0{,}453125)\approx1{,}5727+0{,}4385-2\approx0{,}0112\\ (>0).
Raiz em (0{,}4375,0{,}453125).
  1. m_6=0{,}4453125. Calcular f(0{,}4453125): e^{0{,}4453125}\approx1{,}5603,\qquad \operatorname{sen}(0{,}4453125)\approx0{,}4313,
f(0{,}4453125)\approx1{,}5603+0{,}4313-2\approx-0{,}0084\\ (<0).
Raiz em (0{,}4453125,0{,}453125).
  1. m_7=0{,}44921875. Calcular f(0{,}44921875): e^{0{,}44921875}\approx1{,}5665,\qquad \operatorname{sen}(0{,}44921875)\approx0{,}4349,
f(0{,}44921875)\approx1{,}5665+0{,}4349-2\approx0{,}0014\\ (>0).
Raiz em (0{,}4453125,0{,}44921875).
  1. m_8=0{,}447265625. Calcular f(0{,}447265625): e^{0{,}447265625}\approx1{,}5634,\qquad \operatorname{sen}(0{,}447265625)\approx0{,}4331,
f(0{,}447265625)\approx1{,}5634+0{,}4331-2\approx-0{,}0035\\ (<0).
Raiz em (0{,}447265625,0{,}44921875).
Depois dessas iterações temos o intervalo de incerteza com largura 0{,}001953125, e a raiz está dentro dele. Uma boa aproximação decimal com três casas decimais é
x\approx0{,}4487.
Se quiser mais precisão usa-se mais iterações (ou Newton, que converge mais rápido). A bissecção aqui já dá confiança de que a raiz é aproximadamente 0{,}4487 (com erro menor que 0{,}001).

Passo 6

Breve comentário sobre método rápido alternativo (Newton) — ideia e uma iteração para melhorar a aproximação.
Regra de Newton para a equação f(x)=0:
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})},
onde f'(x)=e^{x}+\cos x. Tomando x_{0}=0{,}449 (da bissecção) e calculando f(x_{0}) e f'(x_{0}) dá uma correção pequena que leva a uma raiz mais precisa, por exemplo x\approx0{,}44868 (uma iteração ou duas tipicamente já dão esta precisão). A Newton exige cálculo de e^{x} e \cos x com boa precisão; para provas, a bissecção com algumas etapas costuma ser suficiente para justificar a localização da raiz.

Resposta

x\approx 0{,}4487

Exercícios relacionados