Localize e classifique os pontos críticos da função
e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio
(n)
(n)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
dada:
- Localizar e classificar os pontos críticos de
. - Determinar se
tem extremo absoluto em seu domínio.
Informações fornecidas:
- A função é
. - O domínio implícito é todo o plano
(a função é polinomial, definida para todo ).
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular as derivadas parciais primeiras de
. As derivadas parciais medem a taxa de variação de
em relação a cada variável mantendo a outra fixa. Para
temos:
Expliquei:
é derivada de
que é
, e de
que é
; termos em
tratam-se como constantes ao derivar em
, e vice‑versa.
Passo 3
Pontos críticos são pontos onde o gradiente é nulo (ambas derivadas parciais iguais a zero) ou onde as derivadas não existem. Aqui as derivadas existem em todo lugar, então resolvemos:
Dividindo por
:
A equação
tem a raiz real
. Logo
Portanto existe um único ponto crítico no plano:
Passo 4
Verificação de unicidade: as equações acima não admitem outras raízes reais além de
para cada variável, logo não há outros pontos críticos.
Passo 5
Agora aplicamos o teste das segundas derivadas (matriz Hessiana) para classificar o ponto crítico. Calculamos as segundas derivadas:
A Hessiana em 2D fornece o discriminante
Passo 6
Calculemos
no ponto
:
Portanto
Como
e
, pelo teste das segundas derivadas o ponto crítico é um mínimo local (estrito).
Passo 7
Calcule o valor da função nesse ponto para saber a altura do mínimo:
Logo o mínimo local tem valor
.
Passo 8
Agora decidimos se esse mínimo local é também mínimo absoluto (global). Uma maneira direta e elegante é escrever
como soma de termos univariados:
Para mostrar que
é mínimo absoluto basta mostrar que cada parcela tem um mínimo absoluto em
e
respectivamente. Considere a função univariada
. Sua derivada é
, zerando em
; o valor em
é
. Como
quando
,
atinge seu mínimo absoluto em
e
para todo
. Portanto
para todo
, com igualdade somente em
. Assim
é mínimo absoluto de
e o valor mínimo global é
.
Passo 9
Quanto à existência de máximo absoluto: observe que, quando
ou
, os termos
e
dominam e fazem
. Logo
não é limitado superiormente e não possui máximo absoluto no domínio
.
Resposta
Ponto crítico:
— mínimo absoluto (global) com valor
.
Não há máximos absolutos (função não é limitada superiormente).
Não há máximos absolutos (função não é limitada superiormente).