Localize e classifique os pontos críticos da função z=f(x, y) e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio
(n) z=x^{4}+y^{4}+4 x+4 y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função z=f(x,y) dada:
  • Localizar e classificar os pontos críticos de f.
  • Determinar se f tem extremo absoluto em seu domínio.
Informações fornecidas:
  • A função é \displaystyle f(x,y)=x^{4}+y^{4}+4x+4y.
  • O domínio implícito é todo o plano \mathbb{R}^{2} (a função é polinomial, definida para todo (x,y)).

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular as derivadas parciais primeiras de f. As derivadas parciais medem a taxa de variação de f em relação a cada variável mantendo a outra fixa. Para f(x,y)=x^{4}+y^{4}+4x+4y temos:
f_x(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}=4x^{3}+4, \qquad f_y(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}=4y^{3}+4.
Expliquei: f_x é derivada de x^{4} que é 4x^{3}, e de 4x que é 4; termos em y tratam-se como constantes ao derivar em x, e vice‑versa.

Passo 3

Pontos críticos são pontos onde o gradiente é nulo (ambas derivadas parciais iguais a zero) ou onde as derivadas não existem. Aqui as derivadas existem em todo lugar, então resolvemos:
4x^{3}+4=0,\qquad 4y^{3}+4=0.
Dividindo por 4:
x^{3}=-1,\qquad y^{3}=-1.
A equação t^{3}=-1 tem a raiz real t=-1. Logo
x=-1,\qquad y=-1.
Portanto existe um único ponto crítico no plano:
(-1,-1).

Passo 4

Verificação de unicidade: as equações acima não admitem outras raízes reais além de -1 para cada variável, logo não há outros pontos críticos.

Passo 5

Agora aplicamos o teste das segundas derivadas (matriz Hessiana) para classificar o ponto crítico. Calculamos as segundas derivadas:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=12x^{2}, \qquad f_{yy}(x,y)=12y^{2}, \qquad f_{xy}(x,y)=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=0.
A Hessiana em 2D fornece o discriminante
D(x,y)=f_{xx}(x,y)\,f_{yy}(x,y)-\big(f_{xy}(x,y)\big)^{2}.

Passo 6

Calculemos f_{xx},f_{yy},D no ponto (-1,-1):
f_{xx}(-1,-1)=12(-1)^{2}=12, \qquad f_{yy}(-1,-1)=12, \qquad f_{xy}(-1,-1)=0.
Portanto
D(-1,-1)=12\cdot 12 - 0^{2}=144>0.
Como D>0 e f_{xx}(-1,-1)=12>0, pelo teste das segundas derivadas o ponto crítico é um mínimo local (estrito).

Passo 7

Calcule o valor da função nesse ponto para saber a altura do mínimo:
f(-1,-1)=(-1)^{4}+(-1)^{4}+4(-1)+4(-1)=1+1-4-4=-6.
Logo o mínimo local tem valor -6.

Passo 8

Agora decidimos se esse mínimo local é também mínimo absoluto (global). Uma maneira direta e elegante é escrever f como soma de termos univariados:
f(x,y)=(x^{4}+4x)+(y^{4}+4y).
Para mostrar que ( -1,-1 ) é mínimo absoluto basta mostrar que cada parcela tem um mínimo absoluto em x=-1 e y=-1 respectivamente. Considere a função univariada g(t)=t^{4}+4t. Sua derivada é g'(t)=4t^{3}+4, zerando em t=-1; o valor em t=-1 é g(-1)=1-4=-3. Como t^{4}\to+\infty quando |t|\to\infty, g atinge seu mínimo absoluto em t=-1 e g(t)\ge -3 para todo t\in\mathbb{R}. Portanto
f(x,y)=g(x)+g(y)\ge -3 + (-3) = -6
para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}, com igualdade somente em (x,y)=(-1,-1). Assim (-1,-1) é mínimo absoluto de f e o valor mínimo global é -6.

Passo 9

Quanto à existência de máximo absoluto: observe que, quando |x|\to\infty ou |y|\to\infty, os termos x^{4} e y^{4} dominam e fazem f(x,y)\to +\infty. Logo f não é limitado superiormente e não possui máximo absoluto no domínio \mathbb{R}^{2}.

Resposta

Ponto crítico: (-1,-1) — mínimo absoluto (global) com valor f(-1,-1)=-6.
Não há máximos absolutos (função não é limitada superiormente).

Exercícios relacionados