Localize e classifique os pontos críticos da função z=f(x, y) e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio
(o) z=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y}, \operatorname{com} x>0 \mathrm{e} y>0

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que ele pede (peguei tudo do enunciado).
  • A função é z=f(x,y)=\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y}.
  • O domínio é o primeiro quadrante aberto: x>0 e y>0.
  • Perguntas pedidas:
    1. Localizar e classificar os pontos críticos de f no domínio.
    2. Determinar se f tem extremo absoluto no domínio (máximo ou mínimo absoluto).

Passo 2

Relembre rápido o que é um ponto crítico (didático): para uma função diferenciável de duas variáveis, um ponto crítico interior do domínio é um ponto onde o gradiente fica nulo (todas as derivadas parciais iguais a zero) ou onde alguma derivada parcial não está definida. Isso vem da ideia unidimensional: em um mínimo/maximum interno a derivada é zero; em 2D generalizamos para o gradiente.
Então vamos calcular as derivadas parciais de f. Como f é dada por soma de funções simples, podemos derivar termo a termo.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y}.
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right) + \frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{y}\right)
O segundo termo depende só de y, então sua derivada em relação a x é zero. Para o primeiro termo, use a regra de potência: \dfrac{d}{dx}(x^{-2}) = -2 x^{-3}. Portanto
\frac{\partial f}{\partial x} = -\frac{2}{x^{3}}.
De forma análoga, para \partial f/\partial y:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{d}{dy}\!\left(\frac{1}{x^{2}}\right) + \frac{d}{dy}\!\left(\frac{1}{y}\right)
O primeiro termo é constante em y, então sua derivada é zero; para o segundo, \dfrac{d}{dy}(y^{-1}) = -y^{-2}. Logo
\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{1}{y^{2}}.

Passo 4

Determinar pontos críticos: resolver o sistema \frac{\partial f}{\partial x}=0 e \frac{\partial f}{\partial y}=0, ou verificar onde as derivadas são indefinidas.
O sistema é
-\frac{2}{x^{3}}=0,\qquad -\frac{1}{y^{2}}=0.
Mas para quaisquer x>0 e y>0 os termos -\dfrac{2}{x^{3}} e -\dfrac{1}{y^{2}} são estritamente negativos, nunca zero. Portanto não existe solução do sistema dentro do domínio. Além disso, as derivadas parciais estão bem definidas (finito) em todo o domínio x>0,\,y>0, então não há pontos onde as derivadas sejam indefinidas. Conclusão:
  • Não há pontos críticos na região x>0,\,y>0.

Passo 5

Classificação local: como não há pontos críticos interiores, não existe ponto interno onde o gradiente seja zero, logo não existem mínimos nem máximos locais interiores. (Lembrete prático: para uma função diferenciável, um extremo local interior obrigatoriamente tem gradiente nulo; portanto a ausência do gradiente nulo impede extremos locais.)

Passo 6

Agora verificar extremos absolutos no domínio (pode ser que não haja ponto crítico, mas ainda exista mínimo absoluto se o limite no infinito alcança um valor mínimo, por exemplo). Vamos estudar o comportamento de f.
Observações fáceis:
  • Para todo x>0 e y>0 vale f(x,y)>0, porque 1/x^{2}>0 e 1/y>0.
  • Podemos tornar f arbitrariamente pequena? Sim: basta escolher x e y grandes. Prova construtiva (estilo epsilon):
    • Dado \varepsilon>0, escolha X>\sqrt{\dfrac{2}{\varepsilon}} de modo que \dfrac{1}{X^{2}}<\dfrac{\varepsilon}{2}.
    • Escolha Y>\dfrac{2}{\varepsilon} de modo que \dfrac{1}{Y}<\dfrac{\varepsilon}{2}.
    • Então para x\ge X e y\ge Y tem
    f(x,y)=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y}\le \frac{1}{X^{2}}+\frac{1}{Y}<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.Isso mostra que \inf\{f(x,y):x>0,y>0\}=0.
  • O valor 0 não é alcançado para nenhum ponto do domínio, porque se f(x,y)=0 então \dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y}=0 com termos positivos — impossível. Portanto não existe mínimo absoluto; o ínfimo é 0 mas não é valor da função.
  • Podemos tornar f arbitrariamente grande? Sim: basta fazer y\to 0^{+} (ou x\to 0^{+} para a primeira parcela). Por exemplo, fixando x=1 e fazendo y\to 0^{+} obtém-se f(1,y)=1+\dfrac{1}{y}\to +\infty. Logo \sup\{f(x,y)\}=+\infty. Portanto não existe máximo absoluto finito.

Passo 7

Conclusões finais (classificação e extremos):
  • Não existem pontos críticos no domínio x>0,\,y>0.
  • Não existem extremos locais nem globais no domínio.
  • A função tem ínfimo 0 (limite quando x,y\to+\infty) mas esse valor não é alcançado (não há mínimo absoluto).
  • A função é não limitada superiormente (vai a +\infty quando y\to0^{+} ou x\to0^{+}), logo não existe máximo absoluto.

Resposta

Não há pontos críticos em x>0,\;y>0.
Não há mínimo absoluto (infimum 0, não alcançado) e não há máximo absoluto (supremum +\infty).

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