Localize e classifique os pontos críticos da função
e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio
(o)
(o)
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado dá e o que ele pede (peguei tudo do enunciado).
- A função é
. - O domínio é o primeiro quadrante aberto:
e . - Perguntas pedidas:
- Localizar e classificar os pontos críticos de
no domínio. - Determinar se
tem extremo absoluto no domínio (máximo ou mínimo absoluto).
- Localizar e classificar os pontos críticos de
Passo 2
Relembre rápido o que é um ponto crítico (didático): para uma função diferenciável de duas variáveis, um ponto crítico interior do domínio é um ponto onde o gradiente fica nulo (todas as derivadas parciais iguais a zero) ou onde alguma derivada parcial não está definida. Isso vem da ideia unidimensional: em um mínimo/maximum interno a derivada é zero; em 2D generalizamos para o gradiente.
Então vamos calcular as derivadas parciais de
. Como
é dada por soma de funções simples, podemos derivar termo a termo.
Passo 3
Calcular
e
.
O segundo termo depende só de
, então sua derivada em relação a
é zero. Para o primeiro termo, use a regra de potência:
. Portanto
De forma análoga, para
:
O primeiro termo é constante em
, então sua derivada é zero; para o segundo,
. Logo
Passo 4
Determinar pontos críticos: resolver o sistema
e
, ou verificar onde as derivadas são indefinidas.
O sistema é
Mas para quaisquer
e
os termos
e
são estritamente negativos, nunca zero. Portanto não existe solução do sistema dentro do domínio. Além disso, as derivadas parciais estão bem definidas (finito) em todo o domínio
, então não há pontos onde as derivadas sejam indefinidas. Conclusão:
- Não há pontos críticos na região
.
Passo 5
Classificação local: como não há pontos críticos interiores, não existe ponto interno onde o gradiente seja zero, logo não existem mínimos nem máximos locais interiores. (Lembrete prático: para uma função diferenciável, um extremo local interior obrigatoriamente tem gradiente nulo; portanto a ausência do gradiente nulo impede extremos locais.)
Passo 6
Agora verificar extremos absolutos no domínio (pode ser que não haja ponto crítico, mas ainda exista mínimo absoluto se o limite no infinito alcança um valor mínimo, por exemplo). Vamos estudar o comportamento de
.
Observações fáceis:
- Para todo
e vale , porque e . - Podemos tornar
arbitrariamente pequena? Sim: basta escolher e grandes. Prova construtiva (estilo epsilon): - Dado
, escolha de modo que . - Escolha
de modo que . - Então para
e tem
Isso mostra que . - Dado
- O valor
não é alcançado para nenhum ponto do domínio, porque se então com termos positivos — impossível. Portanto não existe mínimo absoluto; o ínfimo é mas não é valor da função. - Podemos tornar
arbitrariamente grande? Sim: basta fazer (ou para a primeira parcela). Por exemplo, fixando e fazendo obtém-se . Logo . Portanto não existe máximo absoluto finito.
Passo 7
Conclusões finais (classificação e extremos):
- Não existem pontos críticos no domínio
. - Não existem extremos locais nem globais no domínio.
- A função tem ínfimo
(limite quando ) mas esse valor não é alcançado (não há mínimo absoluto). - A função é não limitada superiormente (vai a
quando ou ), logo não existe máximo absoluto.
Resposta
Não há pontos críticos em
.
Não há mínimo absoluto (infimum , não alcançado) e não há máximo absoluto (supremum
).
Não há mínimo absoluto (infimum