Questão 3. Localize os pontos críticos da função
no retângulo aberto
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no retângulo aberto
.
O que se pede: localizar os pontos críticos de que estejam dentro de
.
Informações relevantes do enunciado:
O que se pede: localizar os pontos críticos de
Informações relevantes do enunciado:
- A função está bem definida e é diferenciável em todo o retângulo aberto
. - O retângulo é aberto, portanto pontos com
, , ou não pertencem a e não podem ser considerados pontos críticos internos.
Passo 2
Definição e estratégia (passo-a-passo didático):
Um ponto interior é ponto crítico se o gradiente de
for nulo nesse ponto, isto é, se as derivadas parciais satisfizerem simultaneamente
Um ponto
Vou calcular
e
aplicando as regras básicas:
- Regra do produto:
. - Regra da cadeia quando aparecer
: derivada em relação a é .
Passo 3
Cálculo de
(com explicação detalhada):
Partindo de , pela regra do produto, diferenciando em relação a
,
Partindo de
Aqui o primeiro termo vem da derivada de
(que é
) multiplicada por
, e o segundo termo vem da derivada de
(que é
) multiplicada por
.
Agora uma simplificação útil: usar a fórmula da soma de ângulos para seno,
Se tomarmos
e
, obtemos
Portanto podemos escrever
Passo 4
Cálculo de
(com explicação):
Diferenciando em relação a
,
é tratada como constante e aplica-se a regra da cadeia em
:
Diferenciando
Aqui só houve um termo porque
.
Passo 5
Sistema para pontos críticos: a condição
leva ao sistema
Agora vamos resolver esse sistema com atenção às restrições
e
.
Passo 6
Análise da segunda equação
:
No intervalo aberto temos
(porque
só em
ou
, que são bordas e estão fora de
). Logo, dentro de
a igualdade só pode ocorrer se
No intervalo aberto
As soluções gerais de
são
com
. Aplicando a
e lembrando que
(pois
e
), as possibilidades dentro de
são
Passo 7
Substituição nas duas possibilidades — primeira possibilidade
:
Calcule usando
. Com
,
Calcule
A condição
passa a ser
, cujo conjunto de soluções é
. No intervalo
temos apenas
. Mas então
que não pertence a
(porque
está na fronteira). Portanto essa possibilidade leva só a um ponto de fronteira, não a um ponto crítico em
.
Passo 8
Segunda possibilidade
:
Novamente , então
Novamente
A condição
implica
, ou seja
. Novamente dentro de
isso força
. Então
que também é ponto de fronteira (
) e portanto não pertence a
.
Passo 9
Conclusão da resolução do sistema: as únicas soluções simultâneas das equações
e
ocorrem em pontos com
ou
(e
), isto é, todas na fronteira do retângulo. Como o enunciado pede pontos críticos no retângulo aberto
, essas soluções são descartadas. Não há outras soluções possíveis porque usamos todas as soluções de
no intervalo permitido e resolvemos a outra equação.
Resposta
Não existem pontos críticos em
.