Questão 3. Localize os pontos críticos da função f(x, y)=\sin x \sin (x+y) no retângulo aberto D: 0<x<\pi, 0<y<\pi

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=\sin x\sin(x+y) definida no retângulo aberto D:\;0<x<\pi,\;0<y<\pi.
O que se pede: localizar os pontos críticos de f que estejam dentro de D.
Informações relevantes do enunciado:
  • A função está bem definida e é diferenciável em todo o retângulo aberto D.
  • O retângulo é aberto, portanto pontos com x=0, x=\pi, y=0 ou y=\pi não pertencem a D e não podem ser considerados pontos críticos internos.

Passo 2

Definição e estratégia (passo-a-passo didático):
Um ponto (x,y) interior é ponto crítico se o gradiente de f for nulo nesse ponto, isto é, se as derivadas parciais satisfizerem simultaneamente
\frac{\partial f}{\partial x}=0\qquad\text{e}\qquad\frac{\partial f}{\partial y}=0.
Vou calcular \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} aplicando as regras básicas:
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}(u v)=u'\,v+u\,v'.
  • Regra da cadeia quando aparecer \sin(x+y): derivada em relação a x é \cos(x+y)\cdot\dfrac{d}{dx}(x+y)=\cos(x+y).

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial x} (com explicação detalhada):
Partindo de f(x,y)=\sin x\cdot\sin(x+y), pela regra do produto, diferenciando em relação a x,
\frac{\partial f}{\partial x} = \cos x\cdot\sin(x+y) + \sin x\cdot\cos(x+y)\cdot 1.
Aqui o primeiro termo vem da derivada de \sin x (que é \cos x) multiplicada por \sin(x+y), e o segundo termo vem da derivada de \sin(x+y) (que é \cos(x+y)) multiplicada por \sin x.
Agora uma simplificação útil: usar a fórmula da soma de ângulos para seno,
\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B.
Se tomarmos A=x+y e B=x, obtemos
\sin(2x+y)=\sin\big((x+y)+x\big)=\sin(x+y)\cos x+\cos(x+y)\sin x.
Portanto podemos escrever
\frac{\partial f}{\partial x}=\sin(2x+y).

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial f}{\partial y} (com explicação):
Diferenciando f(x,y)=\sin x\cdot\sin(x+y) em relação a y, \sin x é tratada como constante e aplica-se a regra da cadeia em \sin(x+y):
\frac{\partial f}{\partial y}=\sin x\cdot\cos(x+y).
Aqui só houve um termo porque \dfrac{d}{dy}\sin(x+y)=\cos(x+y)\cdot\dfrac{d}{dy}(x+y)=\cos(x+y).

Passo 5

Sistema para pontos críticos: a condição \nabla f=0 leva ao sistema
\sin(2x+y)=0, \qquad \sin x\cos(x+y)=0.
Agora vamos resolver esse sistema com atenção às restrições 0<x<\pi e 0<y<\pi.

Passo 6

Análise da segunda equação \sin x\cos(x+y)=0:
No intervalo aberto 0<x<\pi temos \sin x\neq 0 (porque \sin x=0 só em x=0 ou x=\pi, que são bordas e estão fora de D). Logo, dentro de D a igualdade só pode ocorrer se
\cos(x+y)=0.
As soluções gerais de \cos t=0 são t=\dfrac{\pi}{2}+k\pi com k\in\mathbb{Z}. Aplicando a t=x+y e lembrando que x+y\in(0,2\pi) (pois 0<x<\pi e 0<y<\pi), as possibilidades dentro de (0,2\pi) são
x+y=\frac{\pi}{2}\qquad\text{ou}\qquad x+y=\frac{3\pi}{2}.

Passo 7

Substituição nas duas possibilidades — primeira possibilidade x+y=\dfrac{\pi}{2}:
Calcule \sin(2x+y) usando 2x+y = x+(x+y). Com x+y=\dfrac{\pi}{2},
\sin(2x+y)=\sin\Big(x+\frac{\pi}{2}\Big)=\cos x.
A condição \sin(2x+y)=0 passa a ser \cos x=0, cujo conjunto de soluções é x=\dfrac{\pi}{2}+m\pi. No intervalo 0<x<\pi temos apenas x=\dfrac{\pi}{2}. Mas então
y=\frac{\pi}{2}-x=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=0,
que não pertence a D (porque y=0 está na fronteira). Portanto essa possibilidade leva só a um ponto de fronteira, não a um ponto crítico em D.

Passo 8

Segunda possibilidade x+y=\dfrac{3\pi}{2}:
Novamente 2x+y=x+(x+y), então
\sin(2x+y)=\sin\Big(x+\frac{3\pi}{2}\Big)=\sin\Big(x-\frac{\pi}{2}\Big)=-\cos x.
A condição \sin(2x+y)=0 implica -\cos x=0, ou seja \cos x=0. Novamente dentro de 0<x<\pi isso força x=\dfrac{\pi}{2}. Então
y=\frac{3\pi}{2}-x=\frac{3\pi}{2}-\frac{\pi}{2}=\pi,
que também é ponto de fronteira ( y=\pi ) e portanto não pertence a D.

Passo 9

Conclusão da resolução do sistema: as únicas soluções simultâneas das equações \sin(2x+y)=0 e \sin x\cos(x+y)=0 ocorrem em pontos com y=0 ou y=\pi (e x=\tfrac{\pi}{2}), isto é, todas na fronteira do retângulo. Como o enunciado pede pontos críticos no retângulo aberto D, essas soluções são descartadas. Não há outras soluções possíveis porque usamos todas as soluções de \cos(x+y)=0 no intervalo permitido e resolvemos a outra equação.

Resposta

Não existem pontos críticos em D.

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