Localize e classifique os pontos críticos da função
e determine se ela tem pontos absolutos em seu domínio.
Passo 1
O enunciado pede para achar os pontos críticos da função
, classificar cada um (mínimo, máximo ou ponto de sela) e verificar se existem extremos absolutos no domínio
. Vamos usar derivadas parciais para localizar os pontos críticos, a matriz Hessiana para classificar e analisar o comportamento da função no infinito para extremos globais.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
:
Igualando
e
: a equação
dá
. Substituindo em
temos
o que gera as raízes
e portanto os pontos críticos
Passo 3
Agora vamos classificar usando a Hessiana. As segundas derivadas são
O discriminante é
Em cada ponto: • Em
:
,
→ ponto de sela.
• Em :
,
→ mínimo local.
• Em :
,
→ mínimo local.
• Em
• Em
Passo 4
Para saber se há extremos absolutos, avaliamos
nesses pontos:
Como
quando
(o termo
domina), não existe máximo absoluto e o menor valor de
ocorre em
, sendo ele o mínimo absoluto.
Passo 5
Resumindo: encontramos três pontos críticos, classificamos cada um e vimos que o mínimo global é em
com valor
. Não há máximo absoluto no domínio
.
Resposta
Os pontos críticos são
(ponto de sela),
(mínimo local,
) e
(mínimo local e também mínimo absoluto,
). A função não tem máximo absoluto em
.