Localize e classifique os pontos críticos da função z=f(x, y) e determine se ela tem pontos absolutos em seu domínio.
z=x^42-2 x^3+4 x y+y^2

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos da função z=f(x,y), classificar cada um (mínimo, máximo ou ponto de sela) e verificar se existem extremos absolutos no domínio R^2. Vamos usar derivadas parciais para localizar os pontos críticos, a matriz Hessiana para classificar e analisar o comportamento da função no infinito para extremos globais.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f(x,y)=x^42-2x^3+4xy+y^2:
fx=partial fpartial x=2x^3-6x^2+4y,
fy=partial fpartial y=4x+2y
Igualando fx=0 e fy=0: a equação fy=0 y=-2x. Substituindo em fx=0 temos
2x^3-6x^2+4(-2x)=2x^3-6x^2-8x=2x(x^2-3x-4)=0,
o que gera as raízes x=0,4,-1 e portanto os pontos críticos
(0,0),(4,-8),(-1,2)

Passo 3

Agora vamos classificar usando a Hessiana. As segundas derivadas são
fxx=6x^2-12x,
fxy=4,
fyy=2
O discriminante é
D=fxxfyy-(fxy)^2=(6x^2-12x)cdot2-16=12x^2-24x-16
Em cada ponto: • Em (0,0): fxx=0, D=-16<0 → ponto de sela.
• Em (4,-8): fxx=6·16-48=48>0, D=80>0 → mínimo local.
• Em (-1,2): fxx=6+12=18>0, D=20>0 → mínimo local.

Passo 4

Para saber se há extremos absolutos, avaliamos f nesses pontos:
f(0,0)=0,
f(4,-8)=4^42-2·4^3+4·4·(-8)+(-8)^2= -64,
f(-1,2)=12-2·(-1)^3+4·(-1)·2+2^2=-tfrac32
Como f(x,y)to+infty quando |(x,y)|toinfty (o termo x^4/2 domina), não existe máximo absoluto e o menor valor de f ocorre em (4,-8), sendo ele o mínimo absoluto.

Passo 5

Resumindo: encontramos três pontos críticos, classificamos cada um e vimos que o mínimo global é em (4,-8) com valor -64. Não há máximo absoluto no domínio R^2.

Resposta

Os pontos críticos são (0,0) (ponto de sela), (-1,2) (mínimo local, f=-3/2) e (4,-8) (mínimo local e também mínimo absoluto, f=-64). A função não tem máximo absoluto em R^2.

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