Questão 5. Mostre que ( 0,0 ) é o único ponto crítico de
, o qual é mínimo local, mas não absoluto.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede três coisas claras:
- Mostrar que
é o único ponto crítico de . - Mostrar que esse ponto é um mínimo local.
- Mostrar que esse ponto não é um mínimo absoluto (ou seja, existe ponto com
).
Informações dadas (apenas o que aparece na função):
- A expressão explícita de
é . - Avaliação em
: .
Passo 2
Definição e cálculo das derivadas parciais: um ponto
é crítico se as derivadas parciais primeiras se anulam ali. Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
: usar produto e cadeia em
:
Ponto crítico satisfaz o sistema
Passo 3
Resolver o sistema de condições de ponto crítico por casos.
Do primeiro equação
temos duas possibilidades:
- Caso A:
. - Caso B:
, isto é, .
Tratar cada caso na segunda equação.
Caso A (
). Substituindo em
:
Logo
é solução neste caso.
Caso B (
). Substituindo em
:
Portanto não existe
que satisfaça a segunda equação quando
. Assim o caso
não produz pontos críticos.
Conclusão deste passo: o único ponto que satisfaz as duas equações é
. Então
é o único ponto crítico de
.
Passo 4
Critério de segunda derivada (Hessiano) e cálculo das segundas derivadas para identificar natureza do ponto crítico.
As segundas derivadas são:
No ponto
obtemos
O Hessiano em
é a matriz
Uma matriz simétrica
é definida positiva se os seus menores principais forem positivos. Aqui os menores principais são
e
. Portanto
é definida positiva. Alternativamente, como é diagonal com entradas positivas, todos os valores próprios são positivos.
Teorema (intuito): se o Hessiano num ponto crítico é definido positivo, então esse ponto é um mínimo local estrito. Assim concluímos que
é um mínimo local estrito de
.]
Passo 5
Uma prova mais direta e elementar da natureza local (sem Hessiano): escolha uma vizinhança explícita em que
é positiva exceto na origem. Para
tem-se
, logo
. Então, para
,
Assim, se além disso restringirmos
e
a um pequeno disco em torno de
, o lado direito é estritamente positivo para qualquer
. Isso mostra de forma construtiva que
é mínimo local estrito.
Passo 6
Mostrar que
não é mínimo absoluto: basta apresentar um ponto com valor de
negativo (lembrando que
).
Tomemos
. Então
e
Se escolhermos, por exemplo,
obtemos
. Logo existem pontos onde
. Portanto
não é mínimo absoluto.
Passo 7
Resumo das conclusões já demonstradas:
-
é o único ponto crítico (resolvido pelo sistema das derivadas parciais). - O Hessiano em
é definido positivo, logo é mínimo local estrito. - Existem pontos (por exemplo
) com , então não é mínimo absoluto.
Força aí — a parte de calcular derivadas e usar o Hessiano é uma ferramenta padrão em provas; praticando algumas vezes você pega o jeito rápido!
Resposta
O ponto