Localize e classifique os pontos críticos da função z=f(x, y) e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio
z=1-x^{2}-2 y^{2}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a função z=f(x,y):
  • Localizar os pontos críticos de f.
  • Classificar esses pontos (máximo, mínimo ou ponto de sela) e dizer se há extremo absoluto no domínio.
Informações dadas:
f(x,y)=1-x^{2}-2y^{2},
e o domínio implicitamente é todo o plano \mathbb{R}^{2} (a expressão é definida para todos (x,y)\in\mathbb{R}^{2}).

Passo 2

Como encontrarmos pontos críticos? Um ponto crítico ocorre onde o gradiente de f é nulo (ou onde derivadas parciais não existem, o que não é o caso aqui). Vou explicar o que é cada coisa e calcular passo a passo.
Definição rápida e intuitiva:
  • A derivada parcial de f em relação a x, denotada \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede a taxa de variação de f quando só mudamos x e mantemos y fixo.
  • A derivada parcial de f em relação a y, denotada \dfrac{\partial f}{\partial y}, mede a taxa de variação de f quando só mudamos y.
Calculemos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(1-x^{2}-2y^{2}\bigr)=-2x,
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(1-x^{2}-2y^{2}\bigr)=-4y.
Os pontos críticos são as soluções do sistema \nabla f=(0,0), isto é,
-2x=0,\qquad -4y=0.
Resolvendo obtemos
x=0,\qquad y=0.
Portanto existe um único ponto crítico: (0,0).

Passo 3

Agora vamos classificar o ponto crítico usando a matriz Hessiana e o teste das derivadas segundas (o “teste da Hessiana”). Vou explicar a ideia antes de aplicar.
No caso de duas variáveis, definimos as segundas derivadas:
f_{xx}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}},\qquad f_{yy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}},\qquad f_{xy}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}.
A matriz Hessiana é
H=\begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\[4pt] f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix}.
O teste das derivadas segundas diz:
  • Calcule D=\det H=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2} no ponto crítico.
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então é mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então é máximo local.
  • Se D<0 é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo.
Calculemos as segundas derivadas para a nossa função:
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}(-2x)=-2,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}(-4y)=-4,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}(-2x)=0.
Agora o determinante da Hessiana no ponto (0,0) (as segundas derivadas são constantes, valem para todo ponto):
D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^{2}=(-2)\cdot(-4)-0^{2}=8.
Temos D=8>0 e f_{xx}=-2<0. Pelo teste, isso indica que (0,0) é um ponto de máximo local.]

Passo 4

Interpretando geometricamente e verificando se é extremo absoluto:
Reescrevendo a função fica muito claro:
f(x,y)=1-\bigl(x^{2}+2y^{2}\bigr).
Observe que x^{2}+2y^{2}\ge 0 para todo (x,y), com igualdade somente quando x=0 e y=0. Assim:
f(x,y)\le 1\quad\text{para todo }(x,y),
e a igualdade f(x,y)=1 ocorre apenas em (0,0). Logo (0,0) não só é máximo local como também é máximo absoluto (extremo absoluto máximo) de f no domínio, com valor f(0,0)=1.
Quanto ao mínimo absoluto: como a expressão -(x^{2}+2y^{2}) pode ficar arbitrariamente negativa quando |x| ou |y| crescem, f(x,y) não tem limite inferior finito. Por exemplo, na reta y=0 temos f(x,0)=1-x^{2}, que tende a -\infty quando |x|\to\infty. Portanto não existe mínimo absoluto (a função é não limitada inferiormente).

Passo 5

Resumo operacional para usar em prova (dica prática e rápida):
  • Calcule as derivadas parciais e resolva \nabla f=0 para achar pontos críticos.
  • Calcule as segundas derivadas, forme a Hessiana e avalie D e f_{xx} no ponto crítico.
  • Para extremos absolutos, tente reescrever f para ver limites superiores/inferiores ou avaliar comportamento para |(x,y)|\to\infty.

Resposta

Ponto crítico: (0,0).
Classificação: máximo local e máximo absoluto em (0,0) com valor f(0,0)=1.
Mínimo absoluto: não existe (a função é não limitada inferiormente).

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