Localize e classifique os pontos críticos da função
e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a função
:
- Localizar os pontos críticos de
. - Classificar esses pontos (máximo, mínimo ou ponto de sela) e dizer se há extremo absoluto no domínio.
Informações dadas:
e o domínio implicitamente é todo o plano
(a expressão é definida para todos
).
Passo 2
Como encontrarmos pontos críticos? Um ponto crítico ocorre onde o gradiente de
é nulo (ou onde derivadas parciais não existem, o que não é o caso aqui). Vou explicar o que é cada coisa e calcular passo a passo.
Definição rápida e intuitiva:
- A derivada parcial de
em relação a , denotada , mede a taxa de variação de quando só mudamos e mantemos fixo. - A derivada parcial de
em relação a , denotada , mede a taxa de variação de quando só mudamos .
Calculemos as derivadas parciais de
:
Os pontos críticos são as soluções do sistema
, isto é,
Resolvendo obtemos
Portanto existe um único ponto crítico:
.
Passo 3
Agora vamos classificar o ponto crítico usando a matriz Hessiana e o teste das derivadas segundas (o “teste da Hessiana”). Vou explicar a ideia antes de aplicar.
No caso de duas variáveis, definimos as segundas derivadas:
A matriz Hessiana é
O teste das derivadas segundas diz:
- Calcule
no ponto crítico. - Se
e então é mínimo local. - Se
e então é máximo local. - Se
é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Calculemos as segundas derivadas para a nossa função:
Agora o determinante da Hessiana no ponto
(as segundas derivadas são constantes, valem para todo ponto):
Temos
e
. Pelo teste, isso indica que
é um ponto de máximo local.]
Passo 4
Interpretando geometricamente e verificando se é extremo absoluto:
Reescrevendo a função fica muito claro:
Observe que
para todo
, com igualdade somente quando
e
. Assim:
e a igualdade
ocorre apenas em
. Logo
não só é máximo local como também é máximo absoluto (extremo absoluto máximo) de
no domínio, com valor
.
Quanto ao mínimo absoluto: como a expressão
pode ficar arbitrariamente negativa quando
ou
crescem,
não tem limite inferior finito. Por exemplo, na reta
temos
, que tende a
quando
. Portanto não existe mínimo absoluto (a função é não limitada inferiormente).
Passo 5
Resumo operacional para usar em prova (dica prática e rápida):
- Calcule as derivadas parciais e resolva
para achar pontos críticos. - Calcule as segundas derivadas, forme a Hessiana e avalie
e no ponto crítico. - Para extremos absolutos, tente reescrever
para ver limites superiores/inferiores ou avaliar comportamento para .
Resposta
Ponto crítico:
.
Classificação: máximo local e máximo absoluto em com valor
.
Mínimo absoluto: não existe (a função é não limitada inferiormente).
Classificação: máximo local e máximo absoluto em
Mínimo absoluto: não existe (a função é não limitada inferiormente).