Resolva os sistemas de equações diferenciais lineares através do método da transformada de Laplace. \left\{\begin{array}{l}\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=t^{2} \\\ \frac{d^{2} x}{d t^{2}}-\frac{d^{2} y}{d t}=4 t \\\ x(0)=8, x^{\prime}(0)=0 \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right..
Passo 1
O enunciado dá o sistema de equações e as condições iniciais e pede as funções x(t)\) e \(y(t)\):
\[\begin{cases} \displaystyle \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=t^{2},\\[6pt] \displaystyle \frac{d^{2}x}{dt^{2}}-\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=4t,\\[6pt] x(0)=8,\quad x'(0)=0,\\[4pt] y(0)=0,\quad y'(0)=0. \end{cases}
O que se pede: determinar explicitamente x(t)\] e \(y(t) que satisfazem esse sistema com as condições iniciais.]
Passo 2
Vou usar a transformada de Laplace. Primeiro, resumo a definição e as fórmulas que vou usar (explicando cada símbolo):
A transformada de Laplace de uma função f(t) é a função F(s) dada por
Substituindo as iniciais e \mathcal{L}\{4t\}=\dfrac{4}{s^{2}}, vem
s^{2}X(s)-8s - s^{2}Y(s)=\frac{4}{s^{2}}.
Ou seja,
s^{2}\bigl(X(s)-Y(s)\bigr)-8s=\frac{4}{s^{2}}.
Passo 5
Agora tenho o sistema algébrico em X(s),Y(s)\):
\[\begin{cases} s^{2}\bigl(X+Y\bigr)-8s=\dfrac{2}{s^{3}},\\[6pt] s^{2}\bigl(X-Y\bigr)-8s=\dfrac{4}{s^{2}}. \end{cases}
Vou resolver esse sistema para X(s)\] e \(Y(s). É prático somar e subtrair as equações para eliminar variáveis.]
(Faço uma verificação rápida mental das condições iniciais e das equações.) Em t=0 obtem-se x(0)=8 e y(0)=0, e as derivadas em 0 são nulas, conforme dado. Além disso, calculando x''(t) e y''(t) e somando/subtraindo recupera-se t^{2} e 4t, então as soluções estão corretas.