Resolva os sistemas de equações diferenciais lineares através do método da transformada de Laplace.
\left\{\begin{array}{l}\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+\frac{d^{2} y}{d t^{2}}=t^{2} \\\ \frac{d^{2} x}{d t^{2}}-\frac{d^{2} y}{d t}=4 t \\\ x(0)=8, x^{\prime}(0)=0 \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=0\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado dá o sistema de equações e as condições iniciais e pede as funções x(t)\) e \(y(t)\): \[\begin{cases} \displaystyle \frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=t^{2},\\[6pt] \displaystyle \frac{d^{2}x}{dt^{2}}-\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=4t,\\[6pt] x(0)=8,\quad x'(0)=0,\\[4pt] y(0)=0,\quad y'(0)=0. \end{cases}
O que se pede: determinar explicitamente x(t)\] e \(y(t) que satisfazem esse sistema com as condições iniciais.]

Passo 2

Vou usar a transformada de Laplace. Primeiro, resumo a definição e as fórmulas que vou usar (explicando cada símbolo):
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é a função F(s) dada por
F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada.
  • Propriedades de derivadas (essenciais para transformar equações diferenciais):
\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0),
\mathcal{L}\{f''(t)\}=s^{2}F(s)-s f(0)-f'(0).
Nessas fórmulas, F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\}, f(0) é o valor inicial e f'(0) é a derivada inicial.
  • Pares básicos que vou usar para inverter a transformada:
\mathcal{L}\{1\}=\frac{1}{s},\qquad \mathcal{L}\{t^{n}\}=\frac{n!}{s^{n+1}}\quad(n\in\mathbb{N}).
Logo, a inversa satisfaz \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{n+1}}\}=\dfrac{t^{n}}{n!}.

Passo 3

Aplico a transformada de Laplace à primeira equação
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}+\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=t^{2}.
Usando as fórmulas de derivadas e chamando X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\} e Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}, obtém-se
\bigl(s^{2}X(s)-s x(0)-x'(0)\bigr)+\bigl(s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0)\bigr)=\mathcal{L}\{t^{2}\}.
Agora substituo as condições iniciais x(0)=8,\;x'(0)=0,\;y(0)=0,\;y'(0)=0 e a transformada \mathcal{L}\{t^{2}\}=\dfrac{2}{s^{3}}. Fica:
s^{2}X(s)-8s + s^{2}Y(s) = \frac{2}{s^{3}}.
Organizando:
s^{2}\bigl(X(s)+Y(s)\bigr)-8s=\frac{2}{s^{3}}.

Passo 4

Aplico a transformada de Laplace à segunda equação
\frac{d^{2}x}{dt^{2}}-\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=4t.
Pelo mesmo procedimento:
\bigl(s^{2}X(s)-s x(0)-x'(0)\bigr)-\bigl(s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0)\bigr)=\mathcal{L}\{4t\}.
Substituindo as iniciais e \mathcal{L}\{4t\}=\dfrac{4}{s^{2}}, vem
s^{2}X(s)-8s - s^{2}Y(s)=\frac{4}{s^{2}}.
Ou seja,
s^{2}\bigl(X(s)-Y(s)\bigr)-8s=\frac{4}{s^{2}}.

Passo 5

Agora tenho o sistema algébrico em X(s),Y(s)\): \[\begin{cases} s^{2}\bigl(X+Y\bigr)-8s=\dfrac{2}{s^{3}},\\[6pt] s^{2}\bigl(X-Y\bigr)-8s=\dfrac{4}{s^{2}}. \end{cases}
Vou resolver esse sistema para X(s)\] e \(Y(s). É prático somar e subtrair as equações para eliminar variáveis.]

Passo 6

Somando as duas equações:
s^{2}\bigl(X+Y\bigr)+s^{2}\bigl(X-Y\bigr)-16s=\frac{2}{s^{3}}+\frac{4}{s^{2}}.
No lado esquerdo (X+Y)+(X-Y)=2X, então
2s^{2}X-16s=\frac{2}{s^{3}}+\frac{4}{s^{2}}.
Dividindo por 2:
s^{2}X-8s=\frac{1}{s^{3}}+\frac{2}{s^{2}}.
Isolando X:
X(s)=\frac{8s}{s^{2}}+\frac{1}{s^{3}s^{2}}+\frac{2}{s^{2}s^{2}} = \frac{8}{s}+\frac{1}{s^{5}}+\frac{2}{s^{4}}.
Agora subtraio a segunda equação da primeira (primeira menos segunda) para obter Y:
s^{2}\bigl(X+Y\bigr)-s^{2}\bigl(X-Y\bigr)=\frac{2}{s^{3}}-\frac{4}{s^{2}}.
No lado esquerdo (X+Y)-(X-Y)=2Y, então
2s^{2}Y=\frac{2}{s^{3}}-\frac{4}{s^{2}}.
Dividindo por 2:
s^{2}Y=\frac{1}{s^{3}}-\frac{2}{s^{2}}.
Isolando Y:
Y(s)=\frac{1}{s^{5}}-\frac{2}{s^{4}}.

Passo 7

Tenho as transformadas X(s) e Y(s) expressas como potências de s:
X(s)=\frac{8}{s}+\frac{2}{s^{4}}+\frac{1}{s^{5}},\qquad Y(s)= -\frac{2}{s^{4}}+\frac{1}{s^{5}}.
(Reordenei os termos para facilitar a inversão.) Vou inverter termo a termo usando \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{n+1}}\}=\dfrac{t^{n}}{n!}.

Passo 8

Inversão de cada termo:
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{8}{s}\}=8\cdot 1=8.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{2}{s^{4}}\}=2\cdot\frac{t^{3}}{3!}=2\cdot\frac{t^{3}}{6}=\frac{1}{3}t^{3}.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{5}}\}=\frac{t^{4}}{4!}=\frac{t^{4}}{24}.
Portanto
x(t)=8+\frac{1}{3}t^{3}+\frac{1}{24}t^{4}.
Para Y(s):
  • \mathcal{L}^{-1}\{-\tfrac{2}{s^{4}}\}=-2\cdot\frac{t^{3}}{6}=-\frac{1}{3}t^{3}.
  • \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s^{5}}\}=\frac{t^{4}}{24}.
Logo
y(t)=-\frac{1}{3}t^{3}+\frac{1}{24}t^{4}.

Passo 9

(Faço uma verificação rápida mental das condições iniciais e das equações.) Em t=0 obtem-se x(0)=8 e y(0)=0, e as derivadas em 0 são nulas, conforme dado. Além disso, calculando x''(t) e y''(t) e somando/subtraindo recupera-se t^{2} e 4t, então as soluções estão corretas.

Resposta

x(t)=8+\dfrac{1}{3}t^{3}+\dfrac{1}{24}t^{4}
y(t)=-\dfrac{1}{3}t^{3}+\dfrac{1}{24}t^{4}

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