Questão 5) Resolva o sistema
quando
e
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema de duas equações diferenciais de segunda ordem e pede que o resolvamos para valores numéricos dados e condições iniciais. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que precisamos encontrar:
- O sistema (com constantes genéricas) é
- Os valores numéricos dados são
- As condições iniciais são
O que o problema pede: determinar as funções
e
que satisfazem o sistema com essas constantes e condições iniciais.]
Passo 2
Vamos primeiro substituir as constantes no sistema e simplificar as equações. Como
, escrevemos diretamente as segundas derivadas igualadas às forças:
Substituindo
e
,
Em forma vetorial, com
, temos um sistema linear de segunda ordem:
onde a matriz
é
Passo 3
Explico a estratégia (de forma didática): para sistemas lineares homogêneos com coeficientes constantes do tipo
, buscamos modos próprios (autovetores) de
. Se
é um autovetor de
com autovalor
, então qualquer solução do tipo
reduz o sistema à equação escalar
- Se
, essa equação é harmônica e tem soluções e . - Assim a solução geral será combinação linear dos modos próprios oscilatórios correspondentes.
Portanto precisamos encontrar os autovalores e autovetores de
.
Passo 4
Calcular o polinômio característico de
:
Expandindo:
Resolvendo
:
Portanto os autovalores são
Passo 5
Agora encontramos os autovetores correspondentes.
Para
, resolvemos
:
A primeira linha dá
. Tomando
obtemos o autovetor
Para
, resolvemos
:
A primeira linha dá
. Tomando
obtemos
Passo 6
Cada autovalor negativo gera oscilações. Se escolhemos coordenadas modais, as soluções escalares são:
- Para
: (frequência ); - Para
: (frequência ).
A solução geral do sistema é combinação linear dos modos:
Escrevendo explicitamente,
As constantes
serão determinadas pelas condições iniciais.]
Passo 7
Aplicar as condições iniciais em [t=0).
Primeiro
:
Isso dá o sistema linear para
e
:
Da primeira equação (A=2C]. Substituindo na segunda:
Logo
]
Logo
Passo 8
Agora usamos
. Primeiro calcule
a partir da forma geral:
Em
isso vira
As condições iniciais dão
. Então
Escrevendo as componentes:
Passo 9
Resolver o sistema para
e
. Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Colocando em fator comum
:
Assim
E então
Resumindo as constantes encontradas:
Passo 10
Substituir as constantes na solução geral e calcular as componentes
e
.
Lembre-se das componentes de
e
. Para
(primeira componente):
Substituindo
:
Como
, então
. Logo
Para
(segunda componente):
Substituindo:
Com
, obtemos
(Opção de checagem: verificando
recupera
,
, e derivando e avaliando em
recupera
,
.)