Questão 5) Resolva o sistema
\left\{\begin{array}{l} m_{1} x_{1}^{\prime \prime}=-k_{1} x_{1}+k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) \\\ m_{2} x_{2}^{\prime \prime}=-k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) \end{array}\right.
quando k_{1}=3, k_{2}=2, m_{1}=1, m_{2}=1 e x_{1}(0)=0, x_{1}^{\prime}(0)=1, x_{2}(0)=1 e x_{2}^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de duas equações diferenciais de segunda ordem e pede que o resolvamos para valores numéricos dados e condições iniciais. Vou listar claramente o que foi fornecido e o que precisamos encontrar:
  • O sistema (com constantes genéricas) é
\left\{\begin{array}{l} m_{1} x_{1}^{\prime \prime}=-k_{1} x_{1}+k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right)\\[4pt] m_{2} x_{2}^{\prime \prime}=-k_{2}\left(x_{2}-x_{1}\right) \end{array}\right.
  • Os valores numéricos dados são
k_{1}=3,\qquad k_{2}=2,\qquad m_{1}=1,\qquad m_{2}=1.
  • As condições iniciais são
x_{1}(0)=0,\qquad x_{1}^{\prime}(0)=1,\qquad x_{2}(0)=1,\qquad x_{2}^{\prime}(0)=0.
O que o problema pede: determinar as funções x_{1}(t) e x_{2}(t) que satisfazem o sistema com essas constantes e condições iniciais.]

Passo 2

Vamos primeiro substituir as constantes no sistema e simplificar as equações. Como m_{1}=m_{2}=1, escrevemos diretamente as segundas derivadas igualadas às forças:
Substituindo k_{1}=3 e k_{2}=2,
x_{1}^{\prime\prime}=-3x_{1}+2(x_{2}-x_{1})=-3x_{1}+2x_{2}-2x_{1}=-5x_{1}+2x_{2},
x_{2}^{\prime\prime}=-2(x_{2}-x_{1})=-2x_{2}+2x_{1}=2x_{1}-2x_{2}.
Em forma vetorial, com x(t)=\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\[4pt] x_{2}(t)\end{pmatrix}, temos um sistema linear de segunda ordem:
x''(t)=A\,x(t),
onde a matriz A é
A=\begin{pmatrix}-5 & 2\\[4pt] 2 & -2\end{pmatrix}.]

Passo 3

Explico a estratégia (de forma didática): para sistemas lineares homogêneos com coeficientes constantes do tipo x''=A x, buscamos modos próprios (autovetores) de A. Se v é um autovetor de A com autovalor \lambda, então qualquer solução do tipo x(t)=u(t)\,v reduz o sistema à equação escalar
u''(t)=\lambda\,u(t).
  • Se \lambda<0, essa equação é harmônica e tem soluções \cos(\sqrt{-\lambda}\,t) e \sin(\sqrt{-\lambda}\,t).
  • Assim a solução geral será combinação linear dos modos próprios oscilatórios correspondentes.
Portanto precisamos encontrar os autovalores e autovetores de A.

Passo 4

Calcular o polinômio característico de A:
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-5-\lambda & 2\\[4pt] 2 & -2-\lambda\end{pmatrix}=(-5-\lambda)(-2-\lambda)-4.
Expandindo:
(-5-\lambda)(-2-\lambda)-4=(\lambda+5)(\lambda+2)-4=\lambda^{2}+7\lambda+10-4=\lambda^{2}+7\lambda+6.
Resolvendo \lambda^{2}+7\lambda+6=0:
\lambda=\frac{-7\pm\sqrt{49-24}}{2}=\frac{-7\pm5}{2}.
Portanto os autovalores são
\lambda_{1}=-1,\qquad \lambda_{2}=-6.]

Passo 5

Agora encontramos os autovetores correspondentes.
Para \lambda_{1}=-1, resolvemos (A-(-1)I)v=(A+I)v=0:
\begin{pmatrix}-5+1 & 2\\[4pt] 2 & -2+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4 & 2\\[4pt] 2 & -1\end{pmatrix}.
A primeira linha dá -4v_{1}+2v_{2}=0\Rightarrow v_{2}=2v_{1}. Tomando v_{1}=1 obtemos o autovetor
v^{(1)}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 2\end{pmatrix}.
Para \lambda_{2}=-6, resolvemos (A+6I)v=0:
\begin{pmatrix}-5+6 & 2\\[4pt] 2 & -2+6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.
A primeira linha dá v_{1}+2v_{2}=0\Rightarrow v_{1}=-2v_{2}. Tomando v_{2}=1 obtemos
v^{(2)}=\begin{pmatrix}-2\\[4pt] 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Cada autovalor negativo gera oscilações. Se escolhemos coordenadas modais, as soluções escalares são:
  • Para \lambda_{1}=-1: u_{1}(t)=A\cos(t)+B\sin(t) (frequência \omega_{1}=1);
  • Para \lambda_{2}=-6: u_{2}(t)=C\cos(\sqrt{6}\,t)+D\sin(\sqrt{6}\,t) (frequência \omega_{2}=\sqrt{6}).
A solução geral do sistema é combinação linear dos modos:
x(t)=v^{(1)}\big(A\cos t+B\sin t\big)+v^{(2)}\big(C\cos(\sqrt{6}\,t)+D\sin(\sqrt{6}\,t)\big).
Escrevendo explicitamente,
x(t)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}\big(A\cos t+B\sin t\big) +\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}\big(C\cos(\sqrt{6}\,t)+D\sin(\sqrt{6}\,t)\big).
As constantes A,B,C,D serão determinadas pelas condições iniciais.]

Passo 7

Aplicar as condições iniciais em [t=0).
Primeiro x(0):
x(0)=\begin{pmatrix}x_{1}(0)\\[4pt]x_{2}(0)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}A+\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}C.
Isso dá o sistema linear para A e C:
\begin{cases} A-2C=0,\\[4pt] 2A+C=1. \end{cases}
Da primeira equação (A=2C]. Substituindo na segunda:
2(2C)+C=1\quad\Rightarrow\quad 5C=1\quad\Rightarrow\quad C=\dfrac{1}{5}.
Logo
A=2C=\dfrac{2}{5}.]

Passo 8

Agora usamos x'(0). Primeiro calcule x'(t) a partir da forma geral:
x'(t)=v^{(1)}\big(-A\sin t+B\cos t\big)+v^{(2)}\big(-C\sqrt{6}\sin(\sqrt{6}t)+D\sqrt{6}\cos(\sqrt{6}t)\big).
Em t=0 isso vira
x'(0)=v^{(1)}B+v^{(2)}D\sqrt{6}.
As condições iniciais dão x'(0)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}. Então
\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}=B\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\end{pmatrix}+D\sqrt{6}\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Escrevendo as componentes:
\begin{cases} B-2D\sqrt{6}=1,\\[4pt] 2B+D\sqrt{6}=0. \end{cases}]

Passo 9

Resolver o sistema para B e D. Da segunda equação:
2B=-D\sqrt{6}\quad\Rightarrow\quad B=-\dfrac{D\sqrt{6}}{2}.
Substituindo na primeira:
-\dfrac{D\sqrt{6}}{2}-2D\sqrt{6}=1.
Colocando em fator comum D\sqrt{6}:
D\sqrt{6}\Big(-\tfrac{1}{2}-2\Big)=1\quad\Rightarrow\quad D\sqrt{6}\Big(-\tfrac{5}{2}\Big)=1.
Assim
D=-\dfrac{2}{5\sqrt{6}}.
E então
B=-\dfrac{D\sqrt{6}}{2}=-\dfrac{-2/(5\sqrt{6})\cdot\sqrt{6}}{2}=\dfrac{1}{5}.
Resumindo as constantes encontradas:
A=\dfrac{2}{5},\qquad B=\dfrac{1}{5},\qquad C=\dfrac{1}{5},\qquad D=-\dfrac{2}{5\sqrt{6}}.

Passo 10

Substituir as constantes na solução geral e calcular as componentes x_{1}(t) e x_{2}(t).
Lembre-se das componentes de v^{(1)} e v^{(2)}. Para x_{1}(t) (primeira componente):
x_{1}(t)=1\cdot\big(A\cos t+B\sin t\big)+(-2)\cdot\big(C\cos(\sqrt{6}t)+D\sin(\sqrt{6}t)\big).
Substituindo A,B,C,D:
x_{1}(t)=\dfrac{2}{5}\cos t+\dfrac{1}{5}\sin t-\dfrac{2}{5}\cos(\sqrt{6}t)-2D\sin(\sqrt{6}t).
Como D=-\dfrac{2}{5\sqrt{6}}, então -2D=\dfrac{4}{5\sqrt{6}}. Logo
\boxed{\,x_{1}(t)=\dfrac{2}{5}\cos t+\dfrac{1}{5}\sin t-\dfrac{2}{5}\cos(\sqrt{6}\,t)+\dfrac{4}{5\sqrt{6}}\sin(\sqrt{6}\,t)\,}.
Para x_{2}(t) (segunda componente):
x_{2}(t)=2\cdot\big(A\cos t+B\sin t\big)+1\cdot\big(C\cos(\sqrt{6}t)+D\sin(\sqrt{6}t)\big).
Substituindo:
x_{2}(t)=\dfrac{4}{5}\cos t+\dfrac{2}{5}\sin t+\dfrac{1}{5}\cos(\sqrt{6}t)+D\sin(\sqrt{6}t).
Com D=-\dfrac{2}{5\sqrt{6}}, obtemos
\boxed{\,x_{2}(t)=\dfrac{4}{5}\cos t+\dfrac{2}{5}\sin t+\dfrac{1}{5}\cos(\sqrt{6}\,t)-\dfrac{2}{5\sqrt{6}}\sin(\sqrt{6}\,t)\,}.
(Opção de checagem: verificando t=0 recupera x_{1}(0)=0, x_{2}(0)=1, e derivando e avaliando em 0 recupera x_{1}'(0)=1, x_{2}'(0)=0.)

Resposta

x_{1}(t)=\dfrac{2}{5}\cos t+\dfrac{1}{5}\sin t-\dfrac{2}{5}\cos(\sqrt{6}\,t)+\dfrac{4}{5\sqrt{6}}\sin(\sqrt{6}\,t)
x_{2}(t)=\dfrac{4}{5}\cos t+\dfrac{2}{5}\sin t+\dfrac{1}{5}\cos(\sqrt{6}\,t)-\dfrac{2}{5\sqrt{6}}\sin(\sqrt{6}\,t)

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