Localize e classifique os pontos críticos da função
e determine se ela tem extremo absoluto em seu domínio
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: localizar e classificar os pontos críticos de
e dizer se a função tem extremo absoluto no seu domínio. A função dada é
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função é um polinômio em
(logo está definida e é em todo ); portanto o domínio é . - Precisamos encontrar os pontos em que o gradiente é nulo (ou não existe) — aqui o gradiente existe em toda parte, então procuraremos onde ele é zero — e depois classificar cada ponto (mínimo local, máximo local ou ponto de sela).
- Também precisamos decidir se existe algum extremo absoluto (global) no domínio.
Passo 2
Definição e estratégia prática (mini-aula):
- Um ponto crítico é um ponto
onde o gradiente é ou não é definido. Aqui as derivadas parciais existem em toda parte, então resolvemos
- Para classificar um ponto crítico usamos as segundas derivadas e o discriminante de Hessian:
Critério de segunda derivada para pontos críticos:
- Se
e então mínimo local. - Se
e então máximo local. - Se
então ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
Vou aplicar esse procedimento calculando as derivadas parciais e resolvendo o sistema.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
Colocar o sistema
Organizo o segundo em fatorado:
Portanto há duas possibilidades:
(isto é,
). Vou tratar cada caso.]
Passo 4
Caso
. Substituo em
:
Assim obtemos dois pontos críticos:
e
.
Caso
. Substituo em
. Calculo passo a passo:
Então
Coloco tudo sobre denominador
:
Igualando a zero basta zerar o numerador:
Equação quadrática com
. As raízes são
Para cada
obtenho
:
- Se
, então , ponto crítico . - Se
, então , ponto crítico .
Concluímos que os pontos críticos são
Passo 5
Calcular as segundas derivadas (componentes do Hessiano):
O discriminante é
Vou avaliar
e
em cada ponto para classificar.
Passo 6
Avaliação em
:
Como
,
é ponto de sela.
Passo 7
Avaliação em
:
Como
,
é ponto de sela.
Passo 8
Avaliação em
:
Como
,
é ponto de sela.
Passo 9
Avaliação em
:
Como
e
,
é um mínimo local. O valor da função nesse ponto é
Passo 10
Verificação de existência de extremo absoluto (mini-aula e argumento):
- Para existir mínimo absoluto, a função deveria ter um menor valor alcançado em todo
; para máximo absoluto, um maior valor alcançado. - Como
é um polinômio com termos de grau 3 dominantes ( e ), o comportamento para pode divergir para em algumas direções e para em outras. Mostro caminhos específicos.
Direção que faz
: escolha
. Então
Para
temos
.
Direção que faz
: escolha
. Calculo
Para
esse termo dominante
. Logo
assume valores arbitrariamente negativos.
Assim
é não limitada superiormente nem inferiormente, o que impede a existência de máximo absoluto e de mínimo absoluto. Em particular, o mínimo local
com valor
não é mínimo absoluto (existem direções onde
).
Resposta
Não existe extremo absoluto no domínio.