Localize o ponto P no plano com coordenadas polares P=\left(2, \frac{3 \pi}{4}\right).

Passo 1

O enunciado pede localizar o ponto P no plano cujas coordenadas polares são P=\bigl(2,\tfrac{3\pi}{4}\bigr). Vamos converter de coordenadas polares (r,\theta) para cartesianas (x,y).

Passo 2

Em coordenadas polares, dado um ponto \bigl(r,\theta\bigr), as coordenadas cartesianas são
x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta.
Aqui temos r=2 e \theta=\tfrac{3\pi}{4}. Sabemos que
\cos\!\Bigl(\tfrac{3\pi}{4}\Bigr) = -\tfrac{\sqrt{2}}{2}, \qquad \sin\!\Bigl(\tfrac{3\pi}{4}\Bigr) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 3

Substituindo em x = r\cos\theta e y = r\sin\theta, obtemos
x = 2\cdot\bigl(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr) = -\sqrt{2}, \qquad y = 2\cdot\bigl(\tfrac{\sqrt{2}}{2}\bigr) = \sqrt{2}.
Portanto, em coordenadas cartesianas
P = \bigl(-\sqrt{2},\,\sqrt{2}\bigr).
Esse ponto está no segundo quadrante (ângulo de 135^\circ), a distância 2 da origem, conforme indicado originalmente pelas coordenadas polares.

Resposta

O ponto P em coordenadas cartesianas é \bigl(-\sqrt{2},\sqrt{2}\bigr).

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